MegaMatma: Wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kąta d o w o l n e g o o mierze w stopniach lub radianach w oparciu o definicję (R).

Wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kąta d o w o l n e g o o mierze w stopniach lub radianach w oparciu o definicję (R).

rozszerzony
Kątem dowolnym nazywamy kąt skierowany, który umieszczamy tak w układzie współrzędnych, że jego początkowe ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi $x.$ Miara tego kąta może być większa niż ${360}^\circ,$ czyli większa niż $2\pi$ w mierze łukowej.

stop

przy zamianie miar kątów ze stopni kątowych na radiany lub odwrotnie zapamiętaj, że

${180}^\circ=\pi \ rad\ \ \ \to \ \ \ x\ rad={\left(\frac{180\cdot x}{\pi }\right)}^\circ$

Wyobraź sobie, że wkręcamy śrubę dokonując trzykrotnie pełnego obrotu i jeszcze przekręcając o kąt równy $\frac{1}{4}$ pełnego obrotu. Jeden pełen obrót przy wkręcaniu jako, że obrót jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, odpowiada kątowi $\left(-{360}^\circ\right),$ a przy wykręcaniu $+{360}^\circ.$

Wkręcając śrubę dokonaliśmy obrotu o kąt, którego miara jest równa

$\alpha =3\cdot \left(-{360}^\circ\right)+\frac{1}{4}\cdot \left(-{360}^\circ\right)=-{1170}^\circ=-4<br /> \cdot {360}^\circ+{270}^\circ$

Wykręcając śrubę dokonujemy obrotu o kąt, którego miara jest równa

$\beta =3\cdot {360}^\circ+\frac{1}{4}\cdot {360}^\circ=3\cdot {360}^\circ+{90}^\circ$

Miarę dodatnią kąta dodaną do wielokrotności ${360}^\circ$ nazywamy miarą główną kąta skierowanego. Miara główna kąta należy do przedziału $<0^\circ;\ {360}^\circ).$

Miara główna kąta α jest równa ${270}^\circ.$ Miara główna kąta $\beta$ jest równa ${90}^\circ$

${270}^\circ=\frac{3}{2}\cdot \pi rad;$ $\ \ {90}^\circ=\frac{\pi }{2}rad$

Miara główna kąta α jest równa $\frac{3}{2}\pi$ . Miara główna kąta $\beta$ jest równa $\frac{\pi }{2}.$

przykład
Ustal miary główne kątów skierowanych w stopniach i radianach:

A. Między położeniem dużej wskazówki zegara o godzinie $12.15$ i po obrocie o godzinie $15.10$ tego samego dnia.

B. Między położeniem dużej wskazówki zegara o godzinie $12.15$ i o godzinie $15.40$ tego samego dnia.

Rozwiązanie

A. Od $12.15$ do $15.10$ mijają $2$ godziny $55$ minut. Przez $5$ minut duża wskazówka zegara zakreśla kąt o mierze $(-{30}^\circ).$

$\alpha =\ 2\cdot \left(-{360}^\circ\right)+11\cdot \left(-{30}^\circ\right)=-2\cdot {360}^\circ-{330}^\circ$

$\alpha=-3\cdot {360}^\circ+{30}^\circ$ , miara główna kąta α jest równa ${30}^\circ=\frac{\pi }{6}$

B. Od godziny $12.15$ do $15.40$ mijają $3$ godziny i $25$ minut.

$\beta =3\cdot \left(-{360}^\circ\right)-{150}^\circ$

$\beta =-4\cdot {360}^\circ+{210}^\circ$ , miara główna kąta $\beta$ jest równa ${210}^\circ=\frac{7}{6}\pi$

poleć znajomemu drukuj

Wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kąta d o w o l n e g o o mierze w stopniach lub radianach w oparciu o definicję (R).

Podobne tematy: