I. Wstęp

      Pierwiastek kwadratowy?

Wszyscy doskonale wiemy jak nim operować, znamy własności mnożenia czy dzielenia pierwiastków i swobodnie dokonujemy obliczeń z ich udziałem. Z jednym jednak zastrzeżeniem - wiemy, że pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania, a dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu zawsze jest dodatnia.

 

Intuicyjnie więc czujemy, że obliczanie pierwiastka z liczby innej niż dodatnia po prostu nie ma sensu! Co stanie się, jeśli bardzo będziemy chcieli obliczyć pierwiastek kwadratowy na przykład z Na ten problem natknęli się również matematycy w XVI w kiedy to wraz z rozwojem algebry udało się im wyprowadzić wzory wyrażające rozwiązania równań trzeciego stopnia. Okazało się, że są one użyteczne tylko i wyłącznie, jeśli zna się wartość pierwiastka kwadratowego z Z tego powodu, wprowadzona została nowa, kontrowersyjna liczba, nazwana liczbą

 

II. Definicja i . Część rzeczywista i urojona

Ta nowa 'jednostka urojona' definiowana jest alternatywnie jako rozwiązanie równania:

I tak, pamiętając o tym, iż pierwiastek iloczynu możemy przedstawić jako iloczyn dwóch pierwiastków oraz korzystając z definicji liczby i jesteśmy w stanie obliczyć dowolny pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej:

Konsekwencją zdefiniowania nowej liczby jest powstanie nowego zbioru liczb, nazwanych zespolonymi:

czyli zbioru wszystkich liczb o postaci gdzie są liczbami rzeczywistymi.

Jest to zbiór, w którym możliwe jest rozwiązanie równania

Każda liczba zespolona składa się z części rzeczywistej, w tym przypadku oznaczanej symbolem (realis z), oraz z części urojonej, w tym przypadku i oznaczanej jako (imagine z). Suma części rzeczywistej oraz części urojonej pomnożonej przez liczbę i daje nam właśnie liczbę zespoloną.

Liczbę zespoloną można zapisać inaczej, w postaci uporządkowanej pary liczb rzeczywistych

  to liczba zespolona,

  to również liczba zespolona,

  jest również liczbą zespoloną, co czyni liczbą rzeczywistą

Każda liczba zespolona może zostać przedstawiona jako:

Mówimy, iż dwie liczby zespolone są sobie równe, jeśli ich części rzeczywiste są sobie równe oraz ich części urojone są sobie równe:

  wtedy i tylko wtedy, gdy oraz

W zborze liczb zespolonych wykonywalne są wszystkie działania znane ze zbioru liczb rzeczywistych - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Co więcej, dla dowolnych liczb zespolonych działania te podlegają prawom:

1. Łączności dodawania i mnożenia:

2. Przemienności dodawania i mnożenia:

3. Rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania

4. Rozdzielności prawostronne dzielenia względem dodawania i odejmowania

 

Szczegółowe informacje na temat działań na liczbach zespolonych znaleźć można w części czwartej i ósmej tego artykułu.

 

III Płaszczyzna zespolona.