MegaMatma: Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. Działania na potęgach o wykładnikach całkowitych.

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. Działania na potęgach o wykładnikach całkowitych.

Przypomnijmy regułę potęgi o wykładniku naturalnym (czytamy $a$ do potęgi $n;$ inaczej $n-ta$ potęga liczby $a$ )

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \cdots a}_{n\ czynnikow},$ gdzie $n$ wykładnik potęgi, $a$ podstawa potęgi

Potęgą liczby $a$ o wykładniku naturalnym $n, \ n>1,$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy $a$

Ponadto: $a^1 = a\ \ \ \ \ a^0 = 1,\ \ gdy\ \ a\ne 0$

Rozszerzymy pojęcie potęgi, tak aby można było z niego skorzystać dla wykładnika, który jest liczbą całkowitą ujemną.

Liczby całkowite tworzą zbiór $\{\dots\ ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ a naturalne $\{0, 1, 2, 3, 4, \dots \}$

Liczby całkowite ujemne należą do zbioru $\{-1,-2,-3,-4,-5,\dots \}$

reguła

Potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym i podstawie $a\ne 0$

$(a^{-n})$

nazywamy odwrotność potęgi o wykładniku naturalnym, czyli $(\frac{1}{a^n})$

Jeżeli $n$ jest liczbą naturalną i $a\ne 0,$ to $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Oblicz:

A. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2};$ B. ${\left(-1,5\right)}^{-3};$ C. ${\left(2\frac{1}{2}\right)}^{-4}$
Rozwiązania

A. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{5}\right)}^2}=\frac{1}{ \frac{2^2}{5^2}}=\frac{5^2}{2^2}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$

stop

zauważ, że łatwiej obliczyć potęgę o wykładniku ujemnym ułamka wykorzystując odwrotność ułamka

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ $\ \ a\ne 0,\ \ b\ne 0\ i \ n$ naturalne

B. ${\left(-1,5\right)}^{-3}={\left(-\frac{15}{10}\right)}^{-3}={\left(-\frac{3}{2} \right)}^{-3}={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3=-\frac{2^3}{3^3}=-\frac{8}{27}$

C. ${\left(2\frac{1}{2}\right)}^{-4}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-4}={\left(\frac{2}{5} \right)}^4=\frac{2^4}{5^4}=\frac{16}{625}$

przykład

Wykonaj działania:

A. ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-2}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3};$ B. ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{7}{2}\right)}^{-3}+{\left(\frac{1}{4} \right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^{-2};$
C. ${\left({\left(1\frac{1}{5}\right)}^{-2}-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}\right)}^{-1}$

Rozwiązania

A. ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-2}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}={(-2)}^2+3^3=4+27=31$

B. ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{7}{2}\right)}^{-3}+{\left(\frac{1}{4} \right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^{-2}=7^2\cdot {\left(\frac{2}{7}\right)}^3+4^2 \cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{7^2\cdot 2^3}{7^3}+\frac{4^2\cdot 3^2}{4^2} \underbrace{=}_{Uwaga}\frac{2^3}{7}+3^2=\frac{8}{7}+9=10\frac{1}{7}$

stop
$\frac{7^2\cdot 2^3}{7^3}$ , możemy skorzystać z definicji potęgi, czyli $\ \frac{49\cdot 8}{49\cdot 7}$ lub ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach, czyli $\frac{7^2\cdot 2^3}{7^2{\cdot 7}^1}\$ i dalej skracać.

C. ${\left({\left(1\frac{1}{5}\right)}^{-2}-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}\right)}^{-1}={ \left({\left(\frac{6}{5}\right)}^{-2}-\frac{2}{3}\right)}^{-1}={\left({\left(\frac{5}{6} \right)}^2-\frac{2}{3}\right)}^{-1}={\left(\frac{25}{36}-\frac{2}{3}\right)}^{-1}={\left(\frac{25}{36}-\frac{24}{36}\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{36}\right)}^{-1}=36$

stop
Prawa działań na potęgach o wykładnikach naturalnych są prawdziwe dla potęg o wykładnikach całkowitych ujemnych.

Taka sama podstawa potęgi