I Interpretacja współczynników w równaniu ogólnym prostej

Równanie ogólne prostej ma postać , gdzie liczby nie są jednocześnie równe zero, tzn.  

Pokażemy, że wektor o współrzędnych jest wektorem prostopadłym do prostej określonej równaniem tzn. wektor ten leży na pewnej prostej prostopadłej do prostej .

1. Prosta jest prostą pionową.

W równaniu ogólnym prostej pionowej współczynnik , zaś współczynnik   Równanie przyjmuje postać

Reprezentantem wektora swobodnego jest wektor zaczepiony o początku w dowolnym punkcie płaszczyzny. Końcem tego wektora jest punkt  

Prosta , na której leży wektor przechodzi przez punkty Prosta jest prostą poziomą o równaniu i jest prostopadła do prostej pionowej

Zatem wektor jest prostopadły do prostej o równaniu

2. Prosta jest prostą poziomą.

W równaniu ogólnym prostej poziomej współczynnik , zaś współczynnik Równanie przyjmuje postać

Reprezentantem wektora swobodnego jest wektor zaczepiony o początku w dowolnym punkcie   płaszczyzny. Końcem tego wektora jest punkt  

Prosta , na której leży wektor przechodzi przez punkty Prosta jest prostą pionową o równaniu i jest prostopadła do prostej poziomej .

Zatem wektor jest prostopadły do prostej o równaniu  

3. Prosta jest prostą ukośną.

W równaniu ogólnym prostej ukośnej współczynnik i współczynnik

Równanie ma postać   i może być przekształcone do postaci kierunkowej

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy

Reprezentantem wektora swobodnego jest wektor zaczepiony o początku w dowolnym punkcie płaszczyzny.

Końcem tego wektora jest punkt  

Prosta , na której leży wektor przechodzi przez punkty

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy

 

 

 

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych wynosi  

 

Ostatnia równość oznacza, że proste są prostopadłe.

Wektor   leży na prostej prostopadłej do prostej .

Zatem wektor jest prostopadły do prostej o równaniu  

Tak więc, niezależnie od położenia prostej o równaniu wektor   jest do niej prostopadły.