MegaMatma: Rozwiązywanie równań wielomianowych sprowadzających się do równań kwadratowych (R).

Rozwiązywanie równań wielomianowych sprowadzających się do równań kwadratowych (R).

rozszerzony

Rozwiązywanie równań wielomianowych stopnia wyższego niż dwa napotyka często poważne trudności. W pewnych sytuacjach, przez odpowiednie podstawienie lub odpowiednie pogrupowanie wyrazów i wyłączanie przed nawias wspólnych czynników, można doprowadzić równanie wyższego stopnia do postaci równania kwadratowego i takie równanie rozwiązać.

Najprostszą sytuacją dla takich przekształceń są tzw. równania dwukwadratowe, to znaczy równania, które po uporządkowaniu można zapisać w postaci

$ax^4+bx^2+c=0,\ a\ne 0.$

Rozwiązujemy je, stosując podstawienie $x^2=y.$ Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe $ay^2+by+c=0.$

Rozwiązujemy to równanie, a następnie dla otrzymanych, nieujemnych pierwiastków równania kwadratowego wyznaczamy wartości $x$ spełniające warunek $x^2=y.$

przykład
Chcemy rozwiązać równanie $4x^4-9x^2+2=0.$ Jest to równanie dwukwadratowe.
Stosujemy podstawienie $x^2=y$ i otrzymujemy równanie

$4y^2-9y+2=0.$

Dla trójmianu $4y^2-9y+2$ wyznaczmy wyróżnik

$\Delta \ =b^2-4ac={(-9)}^2-4\cdot 4\cdot 2=81-32=49$

Pierwiastki trójmianu:

$y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{9-\sqrt{49}}{8}=\frac{1}{4}\ \ \ \ \ \ y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{9+\sqrt{49}}{8}=2.$

Otrzymaliśmy dwa pierwiastki dodatnie, zatem możemy wyznaczyć wartości niewiadomej $x.$

$x^2=\frac{1}{4}$ stąd $x^2-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\ \vee \ x=-\frac{1}{2}$

$x^2=2$ stąd $x^2-2=0\Leftrightarrow \left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\ \vee \ x=-\sqrt{2}$

Odp. Równanie $4x^4-9x^2+2=0$ ma cztery pierwiastki: $-\sqrt{2},\ -\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \sqrt{2}.$

stop

Liczba pierwiastków równania dwukwadratowego w zależności od liczby pierwiastków równania kwadratowego otrzymanego po podstawieniu $x^2=y$ jest następująca:
? równanie dwukwadratowe ma cztery pierwiastki, gdy równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki dodatnie;
? ? równanie dwukwadratowe ma trzy pierwiastki, gdy równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek dodatni, a drugi równy zero;
? ? ? równanie dwukwadratowe ma dwa pierwiastki, gdy równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek dodatni, a drugi ujemny lub jeden dodatni pierwiastek dwukrotny;
? ? ? ? równanie dwukwadratowe ma jeden pierwiastek, gdy równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek dwukrotny równy zero lub jeden pierwiastek ujemny, a drugi równy zero;
? ? ? ? równanie dwukwadratowe nie ma pierwiastków, gdy równanie kwadratowe nie ma pierwiastków lub ma tylko pierwiastki ujemne.

przykład
Chcemy rozwiązać równanie $36x^4+17x^2+2=0.$

Jest to równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie $x^2=y$ i otrzymujemy równanie

$36y^2+17y+2=0.$

Dla trójmianu $36y^2+17y+2$ wyznaczmy wartość wyróżnika

$\Delta =b^2-4ac={17}^2-4\cdot 36\cdot 2=289-288=1$

Pierwiastki trójmianu:

$y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-17-1}{72}=-\frac{1}{4}\ \ \ \ \ y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-17+1}{72}=-\frac{16}{72}$

Utworzone przez podstawienie równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki ujemne, wracając do niewiadomej $x,$ mielibyśmy $x^2=-\frac{1}{4}$ lub $x^2=-\frac{16}{72}.$ W tej sytuacji równanie dwukwadratowe nie ma pierwiastków.