MegaMatma: Cz.II. Odległość punktu od prostej. Równanie okręgu i opis koła przy pomocy nierówności. Prosta i okrąg.(R)

Cz.II. Odległość punktu od prostej. Równanie okręgu i opis koła przy pomocy nierówności. Prosta i okrąg.(R)

rozszerzony

zadania z rozwiązaniami

zadanie
a) Udowodnij, że pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A=\left(x_A,y_A\right),\ B=\left(x_B,y_B\right)\ i\ C=\left(x_C,\ y_C\right)$ można obliczyć ze wzoru

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A \right)\cdot \left(y_C-y_A\right)\right|.$

b) Korzystając z wyprowadzonego wzoru, obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach

$A=\left(-2,\ 2\right),\ B=\left(6,\ 0\right)\ i\ C=\left(3,\ 7\right).$

Rozwiązanie

Ad. a)

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot h$

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

$h=d\left(C,l_{AB}\right)$

• obliczenie $h$

$h=d\left(C,l_{AB}\right)$

$d\left(C,l_{AB}\right)=\frac{\left|Ax_C+By_C+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$l_{AB}:\ \left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x-x_A\right)-\left(x_B-x_A\right)\cdot \left(y-y_A \right)=0$

$A=y_B-y_A$

$B=x_B-x_A,$

$Ax_C+By_C+C=\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A\right) \cdot \left(y_C-y_A\right)$

Zatem

$h=\frac{\left|\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A\right) \cdot \left(y_C-y_A\right)\right|}{\sqrt{{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(x_B-x_A \right)}^2}}$

• obliczenie pola trójkąta $ABC$

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot h$

$P=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}\cdot \frac{\left|\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A\right)\cdot \left(y_C-y_A\right)\right|}{\sqrt{{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(x_B-x_A\right)}^2}}$

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A \right)\cdot \left(y_C-y_A\right)\right|$

wzór

Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A=\left(x_A,y_A\right),\ B=\left(x_B,y_B\right)\ i\ C=\left(x_C,\ y_C\right)$ można obliczyć ze wzoru

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A \right)\cdot \left(y_C-y_A\right)\right|$

Ad. b)

$A=\left(-2,\ 2\right),\ B=\left(6,\ 0\right)\ ,\ C=\left(3,\ 7\right)$

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(y_B-y_A\right)\cdot \left(x_C-x_A\right)-\left(x_B-x_A \right)\cdot \left(y_C-y_A\right)\right|$

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(0-2\right)\cdot \left(3+2\right)-\left(6+2\right) \cdot \left(7-2\right)\right|$

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|-2\cdot 5-8\cdot 5\right|$

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|-50\right|$

Odp. $P=25\left[j^2\right]$

poleć znajomemu drukuj

Cz.II. Odległość punktu od prostej. Równanie okręgu i opis koła przy pomocy nierówności. Prosta i okrąg.(R)

Podobne tematy: