MegaMatma: Rozwiązywanie równań typu x^3=-8 lub x(x+1)(x-7)=0.

ZAREJESTRUJ SIĘ! Skorzystaj z ponad 7000 zadań z ROZWIĄZANIAMI! Zarejestruj się! Zobacz obszerne artykuły MegaMatmy!

ZAREJESTRUJ SIĘ! Zobacz arkusze maturalne i gimnazjalne z ROZWIĄZANIAMI!

ZAREJESTRUJ SIĘ! Otrzymasz 7 dni dostępu do wszystkich płatnych treści GRATIS! WIOSENNA PROMOCJA!!!

Zrealizuj kod | Mapa serwisu | Rozmiar tekstu: A A A

MegaMatma to E-PODRĘCZNIK na każdy poziom edukacji!!!

Strona główna Uczniowie...Szkoła Średnia...Równania i ...Rozwiązywanie ...

Rozwiązywanie równań typu x^3=-8 lub x(x+1)(x-7)=0.

przykład
Na podane w tytule równanie $x^3=-8$ możemy spojrzeć w dwojaki sposób:

1. Możemy spojrzeć na nie ogólnie:

$\red x^3=a\ \ \Leftrightarrow \ \ x=\left\{ \begin{array}{cc}<br /> \sqrt[3]{a} & gdy\ a\ge 0 \\ -\sqrt[3]{|a|} & gdy\ a<0 \end{array}<br /> \right.$

Przy takim podejściu otrzymujemy $x^3=-8\Leftrightarrow \ x= -\sqrt[3]{\left|-8\right|}=-\sqrt[3]{8}=-2.$

Pokazaliśmy, że pierwiastkiem równania $x^3=-8$ jest $x=-2.$

stop
Symbol $\Leftrightarrow$ czytamy „wtedy i tylko wtedy”.

Ponieważ funkcja $y=x^3$ jest różnowartościowa, zatem $x=-2$ jest jedynym pierwiastkiem równania $x^3=-8.$

Odp. Równanie $x^3=-8$ ma jeden pierwiastek $x=-2.$

wzór
Przy rozwiązywaniu równań trzeciego stopnia korzystać będziemy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

${(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ sześcian sumy

${(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ sześcian różnicy

$a^3+b^3=\left(a+b\right)(a^2-ab+b^2)$ suma sześcianów

$a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$ różnica sześcianów

2. Równanie $x^3=-8$ możemy zapisać w równoważnej postaci $x^3+8=0$ i dalej, korzystając z równości

$2^3=8$ w postaci $x^3+2^3=0.$

Następnie skorzystamy z wzoru skróconego mnożenia

$a^3+b^3=\left(a+b\right)(a^2-ab+b^2).$

Otrzymujemy wówczas $x^3+2^3=\left(x+2\right)(x^2-2x+2^2).$

Niepełny kwadrat sumy $x^2-2x+2^2$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, gdyż wyróżnik tego trójmianu $\Delta b^2-4ac=4-16=-12<0.$

$x^3+2^3=0\Leftrightarrow \left(x+2\right)\left(x^2-2x+2^2\right)=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2.$

Odp. Równanie $x^3=-8$ ma jeden pierwiastek $x=-2.$

poleć znajomemu drukuj

Majątkowe prawa autorskie do wszystkich treści znajdujących się w serwisie należą do MegaWiedza sp. z o.o.

Prawa autorskie podlegają ochronie przewidzianej w ustawie z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych.