Strukturę algebraiczną tworzy niepusty zbiór wraz z pewnymi działaniami określonymi w tym zbiorze.

Działanie oznaczone symbolem ? jest określone w zbiorze jeśli spełniony jest warunek:

? czyli wynik działania na elementach zbioru należy do zbioru.

Działanie ? jest dwu argumentowe czyli jest funkcją odwzorowującą zbiór w zbiór

O zbiorze mówimy, że jest zamknięty ze względu na to działanie, a o działaniu, że jest wykonalne w zbiorze lub jest działaniem wewnętrznym w zbiorze .

Własności działań jak np. przemienność ustalają typ struktury, który ma swoją nazwę np. grupa.

Najprostsze struktury algebraiczne to: grupa, pierścień, ciało lub przestrzeń liniowa (wektorowa).

Grupa

Grupa jest strukturą algebraiczną z jednym działaniem.

Grupą nazywamy parę uporządkowaną gdzie jest dowolnym niepustym zbiorem, taką że spełnione są warunki:

1. Symbol jest działaniem określonym w zbiorze .

 

2. Działanie jest łączne w zbiorze

 

3. Istnieje element neutralny w

 

4. Dla każdego elementu istnieje element odwrotny w zbiorze

 

Jeżeli dodatkowo zachodzi przemienność działania

5.

to grupę nazywamy przemienną lub abelową.

Uzasadnij, że podana para uporządkowana tworzy grupę: - zbiór liczb rzeczywistych, dodawanie liczb.

Rozwiązanie

- Struktura składa się ze zbioru liczb rzeczywistych i działania dodawania liczb.

- W zbiorze dodawanie jest wykonalne, bo suma liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą.

- Dodawanie spełnia warunek łączności, gdyż dla dowolnych trzech liczb rzeczywistych zachodzi

- Elementem neutralnym jest liczba , gdyż dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi .

- Elementem odwrotnym dla dowolnej liczby rzeczywistej jest , czyli liczba przeciwna do liczby

gdyż .

- Zachodzi również przemienność dodawania, gdyż dla dowolnych liczb rzeczywistych mamy

.

Odp. Struktura jest grupą przemienną względem dodawania liczb.