MegaMatma: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta. Wyznaczanie pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta. Wyznaczanie pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

I. Jedynka trygonometryczna

${sin}^2{\mathbf \alpha }+{cos}^2{\mathbf \alpha }=1$

Uzasadnimy dla sinusa i kosinusa kąta ostrego

$sin\alpha =\frac{a}{c}\ \ \ \ \ \ \ cos\alpha =\frac{b}{c}$

$a^2+b^2=c^2\ \ \ \$ Z twierdzenia Pitagorasa

$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}$ Po podzieleniu przez $c^2$

${\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=1$

${(sin\alpha )}^2+{(cos\alpha )}^2=1$

${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$

Wniosek:
Jeżeli $\alpha \in (0^\circ;\ {90}^\circ) ,$ to $sin\alpha =\sqrt{1-{cos}^2\alpha }\ \ \ i\ \ \ cos\alpha =\sqrt{1-{sin}^2\alpha } .$

(R) Uzasadnimy dla sinusa i kosinusa kąta dowolnego

$sin\alpha =\frac{y}{r}\ \ \ \ \ \ \ \ cos\alpha =\frac{x}{r}$

${|x|}^2+{|y|}^2=r^2$ Z trójkąta prostokątnego na rysunku

$x^2+y^2=r^2$

${\left(\frac{x}{r}\right)}^2+{\left(\frac{y}{r}\right)}^2=1$

${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$

stop

ramię końcowe kąta skierowanego $\alpha$ może być położone w dowolnej ćwiartce układu i zawsze znajdziesz trójkąt prostokątny, w którym $r^2={|x|}^2+{|y|}^2,$ gdzie $|x| \ i \ |y|$ są długościami przyprostokątnych, $r$ - promieniem wodzącym punktu $P=(x, y).$

II Wartości funkcji sinus i kosinus kąta dowolnego należą do przedziału $<-1;1>$

$-1\le sin{\mathbf \alpha }\le 1\ \ \ i\ \ \ -1\le cos{\mathbf \alpha}\le 1$

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego (rysunek powyżej)

$sin\alpha =\frac{a}{c}\ \ \ cos\alpha =\frac{b}{c}$ oraz $0<a<c\ \ i \ \ 0<b<c$

$\ 0 < \ \frac{a}{c}<1\ \ \ i\ \ \ 0<\frac{b}{c}<1; \ \ \ \ 0<sin\alpha<1\ \ \ i\ \ \ 0<cos\alpha <1$

Sinus i kosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ma wartości w przedziale $(0, 1)$

$\ \ \ \ \ 0\ <sin\alpha <1\ \ \ i\ \ \ 0<cos\alpha <1$

(R) Dla kąta dowolnego $\alpha$ i dowolnie wybranego punktu

$P = (x, y), \ P \ne (0, 0),$ na końcowym ramieniu kąta, promień wodzący $r$ punktu $P$ jest większy lub równy odległości tego punktu od osi układu współrzędnych czyli od $|x| \ i \ |y|$ (rysunek wyżej)

$\left|x\right|\le r\ \ i\ \ |y|\le r$

Z definicji wartości bezwzględnej (zobacz temat: "Liczby na osi liczbowej i obliczanie.." z Gimnazjum) zachodzi

$-r\le x\le r\ \ i\ \ -r\le y\le r$

Liczba $r > 0$

$-\frac{r}{r}\le \frac{x}{r}\le \frac{r}{r}\ \ i\ \ -\frac{r}{r}\le \frac{y}{r}<br /> \le \frac{r}{r}$

$-1\le cos\alpha \le 1\ \ i\ \ -1\le sin\alpha \le 1$

poleć znajomemu drukuj

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta. Wyznaczanie pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

Podobne tematy: