MegaMatma: Liczby zespolone i postać trygonometryczna, postać wykładnicza, wzór de Moivre'a, wzór Eulera, pierwiastki.

Liczby zespolone i postać trygonometryczna, postać wykładnicza, wzór de Moivre'a, wzór Eulera, pierwiastki.

I Wstęp, przypomnienie

W poprzednim artykule omówiliśmy najważniejsze cechy nowego zbioru liczb, nazwanego zbiorem liczb zespolonych.

Dla przypomnienia, liczba zespolona z to liczba o postaci

$z=a+ib,$ gdzie $a, \ b$ są liczbami rzeczywistymi, a $i=\sqrt{-1}.$

W takiej postaci liczbę $a$ nazywamy częścią rzeczywistą liczby $z$ , natomiast liczbę $b$ - częścią urojoną.

Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić jako punkt na tak zwanej płaszczyźnie Arganda, czyli układzie współrzędnych z osią reprezentującą część rzeczywistą zamiast osi odciętych $(x)$ oraz osią reprezentującą część urojoną liczby zespolonej zamiast osi rzędnych $(y)$ .

Wektor interpretujący liczbę zespoloną ma początek w punkcie $(0, 0),$ a koniec w punkcie $(a, b).$
Dla każdej liczby zespolonej możemy znaleźć jej sprzężenie, czyli liczbę zespoloną o przeciwnym znaku części urojonej:

$\overline{z}=a-ib$

Wektor i jego sprzężenie są symetryczne względem osi rzeczywistej na płaszczyźnie Arganda. Długość wektora interpretującego liczbę zespoloną na płaszczyźnie Arganda nazywamy modułem tej liczby:

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Argument liczby zespolonej to kąt, jaki wspomniany wektor tworzy z osią rzeczywistą na płaszczyźnie Arganda. Argumentem głównym liczby zespolonej nazywamy miarę kąta skierowanego utworzonego przez ten wektor i oś rzeczywistą.

$-\pi <Argz\le \pi$

Dokładniejsze omówienie wszystkich tych własności jak i informacje na temat działań na liczbach zespolonych znaleźć można w pierwszym artykule na ich temat.

II Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

Rozważmy okrąg o promieniu $1$ na płaszczyźnie Arganda. Jeśli na tej samej płaszczyźnie zaznaczymy dowolną liczbę zespoloną $z=a+ib$ o module równym $1,$ to jako że leżeć ona będzie na okręgu, jej współrzędne $(a,b)$ możemy przedstawić korzystając z poniższych zależności:

$\frac{a}{\left|z\right|}=cos\theta \ \ \ \frac{b}{\left|z\right|}=sin\theta$

Jako iż $|z|=1:$

$a=cos\theta \ \ \ b=sin\theta$

gdzie $\theta ,$ to argument główny liczby zespolonej.

Dla liczb zespolonych o module innym niż $1:$

$a=\left|z\right|cos\theta \ \ \ \ b=\left|z\right|sin\theta$

Powracając do podstawowej formy liczby zespolonej:

$z=a+ib=\left|z\right|cos\theta +i\left|z\right|sin\theta$

$z=\left|z\right|(cos{\mathbf \theta }+isin{\mathbf \theta })$

Ten sposób reprezentacji liczby zespolonej nazywamy jej postacią trygonometryczną.

Rozważmy liczbę $z=\sqrt{3}+i.$

Moduł tej liczby: $\left|z\right|=\sqrt{{(\sqrt{3})}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

Wyznaczmy argument główny liczby $z:$

$sin\left(Argz)=\frac{1}{2}\ \ \ i\ {cos \left(Argz)=\frac{\sqrt{3}}{2}<br /> \ }$

Można zauważyć, że liczba leży w $I$ . ćwiartce układu, więc wystarczy znaleźć kąt ostry z tangensa