MegaMatma: Cz.II. Współrzędne wektora i długość wektora na płaszczyźnie. Działania na wektorach i ich interpretacja geometryczna.(R)

Cz.II. Współrzędne wektora i długość wektora na płaszczyźnie. Działania na wektorach i ich interpretacja geometryczna.(R)

rozszerzony

I Prostopadłość wektorów

Niech dane będą dwa niezerowe wektory $\vec{a}=\left[a_1,a_2\right]\ i\ \vec{b}=\left[b_1,b_2\right].$ Sprawdzimy, jaki warunek muszą spełniać ich współrzędne, aby wektory te były prostopadłe, tzn. leżały w prostych prostopadłych.

Niech $P=\left(x_P,y_P\right)$ będzie punktem przecięcia prostych prostopadłych i jednocześnie początkiem reprezentanta obu wektorów.

$\vec{PA}=\vec{a}=\left[a_1,a_2\right]$

$\vec{PB}=\vec{b}=\left[b_1,b_2\right]$

$\vec{a}+\vec{AB}=\vec{b}$

$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

$\vec{AB}=\left[b_1-a_1,b_2-a_2\right].$

Z twierdzenia Pitagorasa

${\left|PA\right|}^2+{\left|PB\right|}^2={\left|AB\right|}^2$

${\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2={\left| \vec{AB}\right|}^2$

${\left(a_1\right)}^2+{\left(a_2\right)}^2+{\left(b_1\right)}^2+{\left(b_2\right)}^2={ \left(b_1-a_1\right)}^2+{\left(b_2-a_2\right)}^2$

${\left(a_1\right)}^2+{\left(a_2\right)}^2+{\left(b_1\right)}^2+{\left(b_2\right)}^2={ \left(b_1\right)}^2-2\cdot b_1\cdot a_1+{\left(a_1\right)}^2+{\left(b_2\right)}^2-2 \cdot b_2\cdot a_2+{\left(a_2\right)}^2$

$0=-2\cdot b_1\cdot a_1-2\cdot b_2\cdot a_2$

$0=b_1\cdot a_1+b_2\cdot a_2$

Otrzymaliśmy warunek prostopadłości wektorów niezerowych $[a_1,a_2]\ i\ [b_1,b_2]$

$b_1\cdot a_1+b_2\cdot a_2=0$

przykład
Znaleźć współrzędne wektora $\vec{b}$ prostopadłego do wektora $\vec{a}=\left[2,\ -4\right]$ i takiego, że $\left|\vec{b}\right|=\sqrt{5}.$

Niech $\vec{b}=\left[b_1,b_2\right].$ Z warunku prostopadłości

$b_1\cdot a_1+b_2\cdot a_2=0$

$2b_1-4b_2=0$

$b_2=\frac{1}{2}\cdot b_1$

Ze wzoru na długość wektora

$\left|\vec{b}\right|=\sqrt{{\left(b_1\right)}^2+{\left(b_2\right)}^2}$

$\sqrt{5}=\sqrt{{\left(b_1\right)}^2+{\left({\frac{1}{2}b}_1\right)}^2}$

$\sqrt{5}=\sqrt{\frac{5}{4}\cdot {\left(b_1\right)}^2}$

$\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \left|b_1\right|$

$\left|b_1\right|=2$

$b_1=2\ lub\ b_1=-2$

$b_2=\frac{1}{2}\cdot b_1$

$b_2=\frac{1}{2}\cdot 2=1\ lub\ b_2=\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)=-1$

Odp. Istnieją dwa wektory spełniające warunki zadania $\vec{b_1}=\left[2,\ 1\right]\ lub\ \vec{b_2}= \left[-2,-1\right]$

Ilustracja graficzna

Rysujemy dowolnego reprezentanta wektora

$\vec{a}=\left[2,\ -4\right]$ i wektorów $\vec{b_1}=\left[2,\ \ 1\right] , \vec{b_2}=\left[-2,\ -1 \right].$

poleć znajomemu drukuj

Cz.II. Współrzędne wektora i długość wektora na płaszczyźnie. Działania na wektorach i ich interpretacja geometryczna.(R)

Podobne tematy: