Przedmiotem badań rachunku prawdopodobieństwa są zdarzenia losowe, tzn. takie zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć. Zdarzenia losowe obserwujemy jako wyniki eksperymentu losowego, którym może być np. opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą, losowy wybór elementu z określonego zbioru, lub obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie. Dla zdarzeń losowych chcemy badać szansę ich zajścia.

Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia tej szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego.

         Początki rachunku prawdopodobieństwa związane są z poszukiwaniami prawidłowości występujących w grach losowych, w szczególności rzutu kostką do gry. Wprawdzie indywidualne wyniki rzutu kostką do gry lub monetą są nieprzewidywalne, ale częstość występowania określonego wyniku wykazuje pewną stabilność. Jedną z koncepcji określenia prawdopodobieństwa zdarzenia losowego było przyjęcie, że prawdopodobieństwem otrzymania określonego wyniku jest liczba , do której zbliża się częstość występowania tego wyniku, gdy liczba obserwacji zwiększa się, dążąc do nieskończoności.

         Ten sposób określenia prawdopodobieństwa nie zdał egzaminu, nigdy przecież nie można przeprowadzić nieskończenie wielu doświadczeń, a przy różnych seriach doświadczeń częstości też się różniły. Poszukiwano innych sposobów wyznaczania prawdopodobieństwa zdarzeń losowych, nie tyle na potrzeby gier hazardowych, ile na potrzeby nauk przyrodniczych, ekonomicznych i innych, w których wiele zjawisk ma charakter losowy.

Aby wprowadzić inną definicję prawdopodobieństwa, musimy sprecyzować pojęcie zdarzenia losowego. Zdarzenia losowe oznaczać będziemy dużymi literami itd.

Rzucamy kostką do gry i ustalamy zdarzenia:
- wypadło oczko, - wypadła parzysta liczba oczek, - wypadły oczka.

Zauważmy, że zdarzenia realizują się tylko w jednej sytuacji, natomiast zdarzenie realizuje się w trzech sytuacjach - gdy wypadną oczka, lub oczka, lub oczek. Zdarzenia są więc najprostszymi, wykluczającymi się wynikami tego doświadczenia, zdarzenie nie jest takim zdarzeniem.

Załóżmy, że przeprowadzamy pewne doświadczenie losowe i oznaczmy literą zbiór wszystkich możliwych , najprostszych, wykluczających się wyników tego doświadczenia.

Zbiór nazwiemy przestrzenią zdarzeń elementarnych, a jego elementy zdarzeniami elementarnymi.

Zdarzenia elementarne oznaczamy małymi literami Zdarzenia losowe są podzbiorami przestrzeni , a zdarzenia elementarne, z których się składają nazywamy zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi tym zdarzeniom.

Określmy jeszcze dwa szczególne zdarzenia:

Jeżeli  (tzn. zdarzeniu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne - zbiór zdarzeń sprzyjających jest pusty) to nazywamy zdarzeniem niemożliwym,

Jeżeli (tzn. zdarzeniu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne), to nazywamy zdarzeniem pewnym.

Podamy teraz przykłady przestrzeni zdarzeń elementarnych dla pewnych doświadczeń.

a) Rzucamy kostką do gry, zdarzeniami elementarnymi są wszystkie możliwe liczby oczek na kostce. Zapiszemy to

b) Rzucamy trzema monetami. Oznaczmy literą „O” wyrzucenie orła, a literą „R” wyrzucenie reszki, wtedy

c) Wybieramy w sposób losowy jedną osobę z klasy. Zdarzeniem elementarnym jest wybór każdej osoby.

W powyższych przykładach przestrzenie zdarzeń elementarnych są zbiorami skończonymi. Nie zawsze tak musi być, np.

a) Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła. Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych

b) Wybieramy w sposób losowy punkt z koła o promieniu . Wtedy zbiór tworzą wszystkie punkty tego koła.

Przypadkami, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem nieskończonym nie będziemy się zajmować. Gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, to wszystkie jej podzbiory są zdarzeniami losowymi.

Na zdarzeniach losowych, które przecież są zbiorami zdarzeń elementarnych, możemy wykonywać takie same działania, jak na zbiorach, tzn. możemy określić: sumę zdarzeń , iloczyn zdarzeń i różnicę zdarzeń

Ustalmy teraz, jak rozumieć będziemy te działania, gdy mówimy o zdarzeniach.

Suma zdarzeń jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie lub zachodzi zdarzenie .

Suma zdarzeń jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń

Iloczyn zdarzeń jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zachodzi zdarzenie i zdarzenie .

Iloczyn zdarzeń jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zachodzą wszystkie zdarzenia

O zdarzeniach powiemy, że wykluczają się, gdy ich iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym, tzn.

Różnicą zdarzeń nazywamy zdarzenie, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie i nie zachodzi zdarzenie .