MegaMatma: Mnożenie i dzielenie pierwiastków drugiego stopnia.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków drugiego stopnia.

Przypomnienie:

Pierwiastkiem stopnia drugiego (kwadratowym) z liczby nieujemnej $a,$ nazywamy liczbę nieujemną $b,$ której kwadrat jest równy liczbie $a.$

A więc jeżeli $a\ i \ b$ są liczbami nieujemnymi, to $\sqrt{a}=b\$ wtedy i tylko wtedy $\ b^2=a,\ a\ge 0\ i\ b\ge 0$

Stąd ${(\sqrt{a})}^2=a$ , gdy a jest liczbą nieujemną

Zachodzi również $\sqrt{a^2}=\left|a\right|,$ gdy $a$ jest liczbą dowolną,

gdzie $|a|$ jest wartością bezwzględną liczby $a.$

stop

zauważ, że $\sqrt{5^2}=5\ i\ \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{25}=5$

przykład

Porównaj wyniki działań:

A. $\sqrt{4}\cdot \sqrt{36\ }\$ i $\ \sqrt{4\cdot 36}$

B. $\sqrt{9}\cdot \sqrt{\frac{81}{100}}\ \$ i $\ \ \sqrt{9\cdot \frac{81}{100}}$

C. $\sqrt{0.09}\cdot \sqrt{0,01}\ \$ i $\ \ \sqrt{0,09\cdot 0,01}$

Rozwiązania:

Z definicji pierwiastka szukamy takiej liczby $b,$ która podniesiona do kwadratu, da liczbę pod pierwiastkiem!

A. $\sqrt{4}\cdot \sqrt{36\ }=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{6^2}=2\cdot 6=12$ i

$\sqrt{4\cdot 36}=\sqrt{144}=\sqrt{{12}^2}=12$

B. $\sqrt{9}\cdot \sqrt{\frac{81}{100}}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{\frac{9^2}{{10}^2}}=3 \cdot \sqrt{{\left(\frac{9}{10}\right)}^2}=3\cdot \frac{9}{10}=\frac{27}{10}$ i

$\sqrt{9\cdot \frac{81}{100}}=\sqrt{\frac{3^2\cdot 9^2}{{10}^2}}=\sqrt{{ \left(\frac{3\cdot 9}{10}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{27}{10}\right)}^2}=\frac{27}{10}$

C. $\sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,01}=\sqrt{{\left(0,3\right)}^2}\ \cdot \sqrt{{\left(0,1\right)}^2}=0,3 \cdot 0,1=0,03$ i

$\sqrt{0,09\cdot 0,01}=\sqrt{{\left(0,3\right)}^2\cdot { \left(0,1\right)}^2}=\sqrt{{\left(0,3\cdot 0,1\right)}^2}=\sqrt{{\left(0,03\right)}^2}=0,03$

stop
W obliczeniach na pierwiastkach korzystamy z działań na potęgach

reguła

Jeżeli $a\ge 0 \ i \ b\ge 0,$ to pierwiastek kwadratowy iloczynu liczb $a\ i \ b$ jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych tych liczb

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\$

pierwiastek kwadratowy ilorazu liczb $a\ i \ b$ jest równy ilorazowi pierwiastków kwadratowych tych liczb

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ \ dla\ b\ne 0$

Stosując prawa działań na pierwiastkach oblicz:

A. $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2};$ B. $\sqrt{64}\cdot \sqrt{\frac{1}{16}}$

C. $\sqrt{36\cdot 169};$ D. $\frac{\sqrt{9\cdot 196}}{\sqrt{81}}$

Rozwiązania:

A.
$\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{8\cdot 2}=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$

B.
$\sqrt{64}\cdot \sqrt{\frac{1}{16}}=\sqrt{64\cdot \frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{64}{16}}= \sqrt{4}=2$

C.
$\sqrt{36\cdot 169}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{169}=\sqrt{6^2}\cdot \sqrt{{13}^2}=6\cdot 13=78$

D.
$\frac{\sqrt{9\cdot 196}}{\sqrt{81}}=\frac{\sqrt{9}\cdot \sqrt{196}}{\sqrt{81}}= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{81}}\cdot \sqrt{{14}^2}=\sqrt{\frac{9}{81}}\cdot 14=\sqrt{ \frac{1}{9}}\cdot 14=\frac{1}{3}\cdot 14=4\frac{2}{3}$

poleć znajomemu drukuj

Mnożenie i dzielenie pierwiastków drugiego stopnia.

Podobne tematy: