MegaMatma: Funkcja homograficzna. Wykresy funkcji homograficznych f(x)=(ax+b)/(cx+d), ad-bc≠0 i c≠0.

Funkcja homograficzna. Wykresy funkcji homograficznych f(x)=(ax+b)/(cx+d), ad-bc≠0 i c≠0.

1) Postać ogólna funkcji homograficznej

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję określoną wzorem

$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d},\ \ \ ad-bc\ne 0\ \ i\ \ c\ne 0.$

Jest to tzw. postać ogólna funkcji homograficznej, z której wynika, że funkcja homograficzna jest ilorazem dwóch funkcji liniowych.

Założenia $ad-bc\ne 0\ i\ c\ne 0$ gwarantują, że wzoru funkcji nie można sprowadzić do postaci liniowej $f\left(x\right)=px+q.$

przykład

Poniżej podane są wzory trzech funkcji postaci $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}.$
1) $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{2},\ \ \ \ a=2,\ b=-3,\ c=0,\ d=2$
2) $f\left(x\right)=\frac{4x-3}{2x-1,5},\ \ \ \ a=4,\ b=-3,\ c=2,\ d=-1,5$
3) $f\left(x\right)=\frac{2x+5}{3x+12},\ \ \ \ a=2,\ b=5,\ c=3,\ d=12$

Wyznaczyć dziedziny i narysować wykresy tych funkcji.

Ad 1) Funkcja $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{2}$ nie jest funkcją homograficzną, ponieważ nie spełnia warunku $c\ne 0.$ Jest to funkcja liniowa $f\left(x\right)=x-1,5.$ Dziedziną tej funkcji jest zbiór $R$ liczb rzeczywistych, zaś wykresem prosta.

Jeśli $c=0$ i oczywiście $d\ne 0,$ to funkcja $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$ jest funkcją liniową $f\left(x\right)=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}$

Ad.2) $f\left(x\right)=\frac{4x-3}{2x-1,5}$

Sprawdzamy, czy jest to funkcja homograficzna:

$ad-bc=4\cdot (-1,5)-(-3)\cdot 2=6-6=0$ .

Funkcja nie jest funkcją homograficzną.

Dziedzinę tej funkcji określa warunek

$2x-1,5\ne 0,$

$x\ne 0,75,$

$D_f=R\backslash \left\{0,75\right\}$

Wzór funkcji można sprowadzić do postaci funkcji liniowej

$f\left(x\right)=\frac{4x-3}{2x-1,5} \to f\left(x\right)=\frac{2\cdot \left(2x-1,5<br /> \right)}{2x-1,5}\to f(x) =2$

$f\left(x\right)=2 \ dla \ x\ne 0,75$

Wykresem funkcji jest prosta pozioma bez jednego punktu

Dalsza część artykułu dla użytkowników z wykupionym kontem premium. Kliknij w baner ;)

Podobne tematy:
Wykresy funkcji i wzory.
Wykresy funkcji danych różnymi wzorami, odczytywanie własności funkcji z wykresu (R)
Wykresy funkcji zadania
Test punkt przecięcia dwóch prostych. Interpretacja układu równań liniowych. Środek odcinka.Odległość dwóch punktów. Równanie okręgu.
Klasówka rysowanie wykresów funkcji y=f(x+a), y=f(x)+a znając wykrs funkcji y=f(x).

poleć znajomemu drukuj

Funkcja liniowafunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej $f:\ R\to R\$ określona wzorem $f(x)=ax+b,$ gdzie $a\ i\ b$ są pewnymi ustalonymi liczbami rzeczywistymi, zwanymi współczynnikami.Zamknij

Ilorazwynik dzielenia $a:b=c,$ gdzie $a$ -dzielna, $b$ -dzielnik, $c$ -ilorazZamknij

Odległość w zbiorzefunkcja $d$ przyporządkowująca każdej parze punktów $x,y\in X,\ X\ne \emptyset,$ liczbę rzeczywistą nieujemną $d(x,y)$ taką, że: $1)\ d\left(x,y\right)=0\ \Leftrightarrow \ gdy\ x=y,$ $2)\ d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (warunek symetrii), $3)\ d\left(x,y\right)\le d\left(x,z\right)+d(z,y)$ (warunek trójkąta), dla dowolnych punktów $x,y,z$ należących do zbioru $X$ .Zamknij

Wzórrówność arytmetyczna - nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości np: $S=V\cdot t$ Zamknij

Funkcja homograficzna(homografia)funkcja wymierna postaci $f(x)=\frac {ax+b}{cx+d},\ c\ne 0,$ $a\cdot d-b\cdot c\ne 0,$ $D:\ x\ne -\frac {d}{c}.$ Jej wykresem jest hiperbola.Zamknij

Granica funkcjiliczba lub $\pm\infty,$ którą zapisujemy ${\lim_{x\to a }}{f(x)}$ i czytamy limes funkcji $f(x)$ przy $x$ dążącym do $a$ ( $a$ jest liczbą lub $\pm\infty$ ).Zamknij

Funkcja różniczkowalnafunkcja określona w $(a;b),$ która posiada pochodną w każdym punkcie swej dziedziny.Zamknij

Liczby przystające modulo mliczby całkowite $x \ i \ y$ takie, że ich różnica $x-y$ jest podzielna przez liczbę naturalną dodatnią $m.$ Oznaczamy $x\equiv y (mod\ m).$ Zamknij

Powtórka z podstawówki
Gimnazjum
Szkoła Średnia
Studia
Wzory
E-BOOKI MegaMatma
- Nasze e-booki w księgarniach ...

Funkcja homograficzna. Wykresy funkcji homograficznych f(x)=(ax+b)/(cx+d), ad-bc≠0 i c≠0.

Podobne tematy: