MegaMatma: Funkcja logarytmiczna. Wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw (R)

Funkcja logarytmiczna. Wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw (R)

rozszerzony
1) Określenie i wykres funkcji logarytmicznej

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem

$f\left(x\right)={{log}_a x\ } \ dla \ a>0\ i\ a\ne 1\ \ i \ \ x>0$ .

Liczbę $a$ nazywamy podstawą logarytmu.

Wykresem funkcji logarytmicznej jest tzw. krzywa logarytmiczna.

przykład
W jednym układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji

$f{\left(x\right)={log}_2 x\ }, \ g\left(x\right)=lnx \ \ i \ \ h\left(x\right)={log x\ }$ .

Symbol $lnx$ jest symbolem logarytmu naturalnego i oznacza logarytm o podstawie $a=e(e\approx 2,7);$

$lnx={{log}_e x\ },$

$ln1=0, \ \ bo \ \ e^0=1$ ,

$lne=1, \ \ bo \ \ e^1=e$ ,

$ln\sqrt{e}=\frac{1}{2}, \ \ bo \ e^{{{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{e}.$

Symbol ${log x\ }$ jest symbolem logarytmu dziesiętnego i oznacza logarytm o podstawie $10;$

${log x\ }={{log}_{10} x\ },$

${log 1\ }=0,\ \ bo \ \ {10}^0=1$ ,

${log 10\ }=1,\ \ bo \ \ {10}^1=10$ ,

${log \frac{1}{100}\ }=-2,\ \ bo \ \ {10}^{-2}=\frac{1}{100}$ .

Wartości logarytmów naturalnych i dziesiętnych można odczytać z kalkulatora.

Tabela częściowa wartości funkcji

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$10$
$y={{log}_2 x\ }$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\approx 3,3$
$y=lnx$	$\approx -1,4$	$\approx -0,7$	$0$	$\approx 0,7$	$\approx 1,4$	$\approx 2,1$	$\approx 2,3$
$y={log x\ }$	$\approx -0,6$	$\approx -0,3$	$0$	$\approx 0,3$	$\approx 0,6$	$\approx 0,9$	$1$

Wykresy funkcji

stop
1. Jeśli $a>1$ , to funkcja logarytmiczna jest rosnąca.

2. Wykres funkcji zbliża się do osi $y,$ gdy argumenty $x$ zbliżają się do $0$ z prawej strony. Oś $y$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji logarytmicznej.

3. Wykresy wszystkich funkcji przechodzą przez punkt $(1,0)$ .

przykład
W jednym układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji

$f{\left(x\right)={log}_{\frac{1}{2}} x\ }, \ g\left(x\right)={{log}_{<br /> \frac{1}{e}} x\ } \ i \ h\left(x\right)={{log}_{\frac{1}{10}} x\ }$ .

Korzystając ze wzoru na zamianę podstaw logarytmu

wzór

${log}_a x\ =\frac{{{log}_b x\ }}{{{log}_b a\ }}$

zauważmy związek pomiędzy liczbami ${{log}_a x\ }$ i ${{log}_{\frac{1}{a}} x\ }$ dla $a\in \left(0;1\right)\cup \left(1;+\infty \right):$

${{log}_{<br /> \frac{1}{a}} x=\frac{{{log}_a x\ }}{{{log}_a \frac{1}{a}\ }}\ },$

${{log}_{\frac{1}{a}} x\ }=\frac{{{log}_a x\ }}{{{log}_a a^{-1}\ }},$

${{log}_{\frac{1}{a}} x=\frac{{{log}_a x\ }}{-1}\ },$

wzór

${{log}_{\frac{1}{a}} x=-{{log}_a x\ }\ }.$

poleć znajomemu drukuj

Funkcja logarytmiczna. Wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw (R)

Podobne tematy: