MegaMatma: Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych (R).

Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych (R).

rozszerzony
Wyznaczanie pierwiastków wielomianów stopnia wyższego niż dwa często napotyka na znaczne trudności. W niektórych przypadkach użyteczne jest grupowanie wyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias lub stosowanie wzorów skróconego mnożenia. Nie zawsze jednak takie metody dają rezultaty. W pewnych sytuacjach pomocne jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. (o wymiernych pierwiastkach wielomianu)

Jeżeli liczba wymierna przedstawiona w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego $\frac{p}{q}$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_1 x+a_0,$ gdzie $a_n \neq 0\ i\ a_0 \neq 0$

o współczynnikach całkowitych, to licznik ułamka $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0,$ zaś mianownik ułamka $q$ jest dzielnikiem współczynnika $a_n$ przy najwyższej potędze.

Dowód
Z założenia, że liczba wymierna przedstawiona w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego $\frac{p}{q}$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1 x+a_0$ możemy zapisać $W(\frac{p}{q} )=0.$

Podstawiając ten ułamek w miejsce zmiennej $x$ , otrzymujemy

$a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+a_{n-2}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-2}+\cdots +a_1\frac{p}{q}+a_0=0.$

stop

Zauważ, że liczby $p$ i $q$ są całkowite i różne od zera oraz, ze względu na to, że ułamek $\frac{p}{q}$ jest nieskracalny, nie mają wspólnego dzielnika różnego od $1.$

Skorzystajmy teraz z następującej własności potęgi ${\left(\frac{p}{q}\right)}^k=\frac{p^k}{q^k}$ dla kolejnych potęg tego ułamka.

$a_n\frac{p^n}{q^n}\ \ +a_{n-1}\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}\ +a_{n-2}\frac{p^{n-2}}{q^{n-2}}\ +\cdots +a_1\frac{p}{q}+a_0=0$

Mnożymy obie strony powyższej równości przez $q^n$ i otrzymujemy

$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$

Przekształcamy otrzymaną równość do postaci

$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\cdots +a_1pq^{n-1}=-a_0q^n$

Po lewej stronie równości wyłączamy przed nawias $p.$

${p(a}_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+a_{n-2}p^{n-3}q^2+\cdots +a_1q^{n-1})=-a_0q^n$

Liczba po stronie lewej równości jest podzielna przez $p$ , gdyż wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, zatem liczba po stronie prawej $a_0 q^n$ też musi być podzielna przez $p.$

Ułamek $\frac{p}{q}$ był nieskracalny, zatem liczba $q^n$ nie jest podzielna przez $p$ i tym samym podzielna przez $p$ musi być liczba $a_0,$ która jest wyrazem wolnym wielomianu.

Aby wykazać, że współczynnik przy najwyższej potędze jest podzielny przez mianownik $q,$ weźmiemy znów pod uwagę równość

$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$

Powyższą równość zapiszemy w postaci

$a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=-a_np^n$

Po lewej stronie równości wyłączamy przed nawias $q.$

${q(a}_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q+\cdots +a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1})=-a_np^n.$

Analogicznie jak poprzednio zauważamy, że lewa strona jest podzielna przez $q.$ Zatem przez $q$ musi być podzielna strona prawa.

Ułamek $\frac{p}{q}$ był nieskracalny, zatem liczba $p^n$ nie jest podzielna przez $q$ i tym samym podzielna przez $q$ musi być liczba $a_n,$ która jest współczynnikiem przy najwyższej potędze zmiennej w wielomianie.

Twierdzenie zostało udowodnione.

stop

Powyższe twierdzenie pozwala wyznaczyć zbiór liczb wymiernych, wśród których znajdują się wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu. Po wyznaczeniu takiego zbioru sprawdzamy, dla której z liczb do niego należących wielomian przyjmuje wartość zero.

poleć znajomemu drukuj

Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych (R).

Podobne tematy: