Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]

Zrealizuj kod | Mapa serwisu | Rozmiar tekstu: A A A
Strona głównaUczniowie...Ponadgimnazjalna...Równania i ...(R)Pierwiastki ...

3.11 (R)Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Poniżej bezpłatny fragment tematu. Aby korzystać z całych zasobów serwisu wykup dostęp do treści płatnych: obszernych tematów, klasówek, testów i arkuszy egzaminacyjnych z rozwiązaniami. Zobacz opcje płatności

rozszerzony
Wyznaczanie pierwiastków wielomianów stopnia wyższego niż dwa często napotyka na znaczne trudności. W niektórych przypadkach użyteczne jest grupowanie wyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias lub stosowanie wzorów skróconego mnożenia. Nie zawsze jednak takie metody dają rezultaty. W pewnych sytuacjach pomocne jest następujące twierdzenie.


Twierdzenie 1. (o wymiernych pierwiastkach wielomianu)

Jeżeli liczba wymierna przedstawiona w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego latex jest pierwiastkiem wielomianu 

latex gdzie latex

 

o współczynnikach całkowitych, to licznik ułamka latex jest dzielnikiem wyrazu wolnego latex zaś mianownik ułamka latex jest dzielnikiem współczynnika latex  przy najwyższej potędze.


Dowód
Z założenia, że liczba wymierna przedstawiona w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego latex jest pierwiastkiem wielomianu

 

latex możemy zapisać latex

 

Podstawiając ten ułamek w miejsce zmiennej latex, otrzymujemy

 

latex


stop

Zauważ, że liczby latex i latex są całkowite i różne od zera oraz, ze względu na to, że ułamek latex jest nieskracalny, nie mają wspólnego dzielnika różnego od latex

Skorzystajmy teraz z następującej własności potęgi latex dla kolejnych potęg tego ułamka.


latex


Mnożymy obie strony powyższej równości przez latex i otrzymujemy


latex


Przekształcamy otrzymaną równość do postaci


latex


Po lewej stronie równości wyłączamy przed nawias latex

latex 

Liczba po stronie lewej równości jest podzielna przez latex, gdyż wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, zatem liczba po stronie prawej latex też musi być podzielna przez latex

 

Ułamek latex był nieskracalny, zatem liczba latex nie jest podzielna przez latex i tym samym podzielna przez latex musi być liczba latex która jest wyrazem wolnym wielomianu.


Aby wykazać, że współczynnik przy najwyższej potędze jest podzielny przez mianownik latex weźmiemy znów pod uwagę równość

 

latex

 

Powyższą równość zapiszemy w postaci


latex


Po lewej stronie równości wyłączamy przed nawias latex


latex

 

Analogicznie jak poprzednio zauważamy, że lewa strona jest podzielna przez latex Zatem przez latex musi być podzielna strona prawa.

 

Ułamek latex był nieskracalny, zatem liczba latex nie jest podzielna przez latex i tym samym podzielna przez latex musi być liczba latex która jest współczynnikiem przy najwyższej potędze zmiennej w wielomianie.


Twierdzenie zostało udowodnione.


stop

Powyższe twierdzenie pozwala wyznaczyć zbiór liczb wymiernych, wśród których znajdują się wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu. Po wyznaczeniu takiego zbioru sprawdzamy, dla której z liczb do niego należących wielomian przyjmuje wartość zero.


Do góry ∧

                                                                                                                

   Majątkowe prawa autorskie do wszystkich treści znajdujących się w serwisie należą do MegaWiedza sp. z o.o., ul. Zakrzewki 21a, 95-082 Dobroń.

Prawa autorskie podlegają ochronie przewidzianej w ustawie z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych.