Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]

 Jak korzystać z MegaMatmy? Zobacz "mini podręcznik użytkownika"!

Zrealizuj kod | Mapa serwisu | Rozmiar tekstu: A A A
Strona głównaUczniowie...Ponadgimnazjalna...Kombinatoryka i ...(R)Warunkowe ...

11.4 (R)Warunkowe prawdopodobieństwo i całkowite.

Poniżej bezpłatny fragment tematu. Aby korzystać z całych zasobów serwisu wykup dostęp do treści płatnych: obszernych tematów, klasówek, testów i arkuszy egzaminacyjnych z rozwiązaniami. Zobacz opcje płatności

rozszerzony

Analizując doświadczenia losowe, spotykamy się niekiedy z sytuacją, gdy chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia losowego, wiedząc jednocześnie, że zaszło inne zdarzenie losowe zawarte w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych.


Definicja 1.

Niech latex będą zdarzeniami losowymi zawartymi w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych latex i niech latex

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia latex przy założeniu, że zaszło zdarzenie latex nazywamy liczbę


latex

stop

Z powyższego wzoru wynika, ze jeśli latex są zdarzeniami losowymi zawartymi w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych latex i:


latex

latex

przy czym latex  zapisujemy również jako latex


Twierdzenie 1.

(Wzór Bayesa). Niech latexbędą zdarzeniami losowymi o dodatnich prawdopodobieństwach zawartymi w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych latex

Wówczas latex


Aby wykazać prawdziwość podanego wzoru, skorzystajmy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego i podanych wyżej równości.


latex

przykład
W pewnej wycieczce brały udział latex kobiety i latex mężczyzn. Uczestnicy wycieczki mieli możliwość wybrania się dodatkowo na przejażdżkę kolejką górską, z czego skorzystało latex kobiet i latex mężczyzn.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba losowo wybrana spośród uczestników wycieczki była na tej przejażdżce, jeśli wiemy dodatkowo, że była to kobieta.


Niech latex oznacza zbiór zdarzeń elementarnych dla doświadczenia polegającego na losowym wyborze jednej osoby spośród uczestników wycieczki.


Oznaczmy zdarzenia zawarte w tej przestrzeni:

 

latex - losowo wybrana osoba była na przejażdżce,

 

latex - losowo wybrana osoba była kobietą.

 

Naszym celem jest obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia latex pod warunkiem, że zaszło zdarzenia latex


Liczba zdarzeń elementarnych należących do tej przestrzeni jest równa liczbie uczestników wycieczki

 

latex

 

Obliczmy teraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom  latex oraz latex

 

Zdarzenie  latex oznacza wybranie kobiety, która była na przejażdżce, zatem

 

latex

Wstawiając obliczone wartości do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy:


latex

Prawdopodobieństwo, że osoba losowo wybrana spośród uczestników wycieczki była na tej przejażdżce, jeśli wiemy, że była to kobieta jest równe latex


stop

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia latex pod warunkiem, że zaszło zdarzenie latex możemy obliczyć również w inny sposób.

 

Tworzymy nową przestrzeń zdarzeń elementarnych latex i w tej przestrzeni wybranych osób, które są kobietami obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia latex - losowo wybrana kobieta była na przejażdżce.

 

Korzystając z definicji klasycznej mamy: latex

W obydwu przypadkach otrzymaliśmy taki sam wynik - prawdopodobieństwo, że osoba losowo wybrana spośród uczestników wycieczki była na tej przejażdżce, jeśli wiemy, że była to kobieta jest równe latex


Do góry ∧

                                                                                                                

Promocja tablica interaktywna Interwrite z MegaMatmą

   Majątkowe prawa autorskie do wszystkich treści znajdujących się w serwisie należą do MegaWiedza sp. z o.o., ul. Zakrzewki 21a, 95-082 Dobroń.

Prawa autorskie podlegają ochronie przewidzianej w ustawie z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych.