MegaMatma: Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite.(R)

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite.(R)

rozszerzony

Analizując doświadczenia losowe, spotykamy się niekiedy z sytuacją, gdy chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia losowego, wiedząc jednocześnie, że zaszło inne zdarzenie losowe zawarte w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Definicja 1.

Niech $A \ i \ B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega$ i niech $P(B)>0.$

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia $A$ , przy założeniu, że zaszło zdarzenie $B$ nazywamy liczbę

$P\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

stop

Z powyższego wzoru wynika, ze jeśli $A \ i \ B$ są zdarzeniami losowymi zawartymi w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega$ i:

$P(B)>0, \ to \ P\left(A\cap B\right)=P(A|B)\cdot P(B),$

$P(A)>0, \ to \ P\left(A\cap B\right)=P(B\cap A)=P(B|A)\cdot P(A),$

przy czym $P(A|B)$ zapisujemy również jako $P(A/B).$

Twierdzenie 1.

(Wzór Bayesa). Niech $A \ i \ B$ będą zdarzeniami losowymi o dodatnich prawdopodobieństwach zawartymi w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega .$

Wówczas $P\left(A|B\right)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}.$

Aby wykazać prawdziwość podanego wzoru, skorzystajmy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego i podanych wyżej równości.

$P\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

przykład
W pewnej wycieczce brały udział $24$ kobiety i $16$ mężczyzn. Uczestnicy wycieczki mieli możliwość wybrania się dodatkowo na przejażdżkę kolejką górską, z czego skorzystało $12$ kobiet i $8$ mężczyzn.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba losowo wybrana spośród uczestników wycieczki była na tej przejażdżce, jeśli wiemy dodatkowo, że była to kobieta.

Niech $\Omega$ oznacza zbiór zdarzeń elementarnych dla doświadczenia polegającego na losowym wyborze jednej osoby spośród uczestników wycieczki.

Oznaczmy zdarzenia zawarte w tej przestrzeni:

$A$ - losowo wybrana osoba była na przejażdżce,

$B$ - losowo wybrana osoba była kobietą.

Naszym celem jest obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenia $B.$

Liczba zdarzeń elementarnych należących do tej przestrzeni jest równa liczbie uczestników wycieczki

$\overline{\overline{\Omega }}=24+16=40.$

Obliczmy teraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom $A\cap B$ oraz $B.$

Zdarzenie $A\cap B$ oznacza wybranie kobiety, która była na przejażdżce, zatem

$\overline{\overline{A\cap B}}=12\ \ i\ \ P\left(A\cap B\right)=\frac{12}{40}=0,3;\ \ \ P\left(B\right)=\frac{24}{40}=0,6.$

Wstawiając obliczone wartości do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy:

$P\left(A|B\right)=\frac{0,3}{0,6}=0,5$

Prawdopodobieństwo, że osoba losowo wybrana spośród uczestników wycieczki była na tej przejażdżce, jeśli wiemy, że była to kobieta jest równe $0,5.$

stop

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ możemy obliczyć również w inny sposób.

Tworzymy nową przestrzeń zdarzeń elementarnych ${\Omega }_B=\Omega \cap B$ i w tej przestrzeni wybranych osób, które są kobietami obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A_B\$ - losowo wybrana kobieta była na przejażdżce.

Korzystając z definicji klasycznej mamy: $P\left(A|B\right)=\frac{\overline{\overline{A_B}}}{\overline{\overline{{\Omega }_B}}}=\frac{12}{24}=0,5.$

W obydwu przypadkach otrzymaliśmy taki sam wynik - prawdopodobieństwo, że osoba losowo wybrana spośród uczestników wycieczki była na tej przejażdżce, jeśli wiemy, że była to kobieta jest równe $0,5.$

poleć znajomemu drukuj

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite.(R)

Podobne tematy: