Zanim przypomnimy i rozszerzymy pojęcie potęgi kolejno o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym i rzeczywistym najpierw usystematyzujmy wiedzę o podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych

− zbiór liczb naturalnych,

− zbiór liczb całkowitych,

− zbiór liczb wymiernych,

− zbiór liczb niewymiernych,

− zbiór liczb rzeczywistych.

Każda liczba rzeczywista ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne, które jest skończone lub okresowe, gdy albo nieokresowe, gdy

Zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany przez relację większości To znaczy, że dla dowolnych liczb

1. Zachodzi jeden i tylko jeden ze związków:

2. Jeżeli   to 

3. Jeżeli   to 

4. Jeżeli   to 

5. Jeżeli   to 

Ważnymi pojęciami dla zbiorów zawartych w są takie, jak kres górny i dolny.

Zbiór jest ograniczony z góry, gdy znajdziemy taką liczbę że każdy element zbioru jest nie większy od niej.

Np. dla zbioru skończonego istnieje liczba taka że każdy element zbioru jest od niej mniejszy, zbiór jest ograniczony z góry.

Zbiór jest ograniczony z dołu, gdy znajdziemy taką liczbę że każdy element zbioru jest nie mniejszy od tej liczby. Np. zbiór nieskończony gdzie jest ograniczony z dołu przez liczbę i ograniczony z góry przez liczbę Coś więcej te liczby należą do zbioru i są kresem dolnym oraz kresem górnym

Zasada ciągłości. Każdy niepusty i ograniczony z góry (z dołu) podzbiór zbioru ma kres górny (dolny).

Przypomnijmy definicję potęgi o wykładniku będącym liczbą naturalną oraz definicję potęgi o wykładniku będącym liczbą całkowitą ujemną.

Definicja