MegaMatma: Rozwiązywanie nierówności wymiernych (R).

Rozwiązywanie nierówności wymiernych (R).

rozszerzony

Definicja1.

Nierównością wymierną nazywamy nierówność, którą da się przedstawić w jednej z następujących postaci:

$\frac{W_l(x)}{W_m(x)}<0,\ \ \frac{W_l(x)}{W_m(x)}>0,\ \frac{W_l(x)}{W_m(x)}\le 0,\frac{W_l(x)}{W_m(x)}\ge 0$

gdzie w liczniku i w mianowniku ułamka występują wielomiany oznaczone tu odpowiednio $W_l\ i\ W_m$ i wielomian w mianowniku nie jest wielomianem zerowym, to znaczy $W_m(x)\not\equiv 0.$

Dziedziną nierówności wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych, dla których wielomian w mianowniku nie przyjmuje wartości zero, to znaczy $D=\left\{x\in R:\ W_m(x)\ne 0\right\}.$

stop

Nierówność wymierna określona w swej dziedzinie jest równoważna nierówności wielomianowej, to znaczy:

$\frac{W_l(x)}{W_m(x)}<0\Longleftrightarrow W_l\left(x\right)\cdot W_m\left(x\right)<0\ \wedge \ W_m(x)\ne 0$

$\frac{W_l(x)}{W_m(x)}>0\Longleftrightarrow W_l\left(x\right)\cdot W_m\left(x\right)>0\ \wedge \ W_m(x)\ne 0$

$\frac{W_l(x)}{W_m(x)}\le 0\Longleftrightarrow W_l\left(x\right)\cdot W_m\left(x\right)\le 0\ \wedge \ W_m(x)\ne 0$

$\frac{W_l(x)}{W_m(x)}\ge 0\Longleftrightarrow W_l\left(x\right)\cdot W_m\left(x\right)\ge 0\ \wedge \ W_m(x)\ne 0.$

Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernej wykonujemy kolejno następujące czynności:

Wyznaczamy pierwiastki obu wielomianów $W_l (x)\ i\ W_m (x)$ z uwzględnieniem ich krotności.

Rozkładamy obydwa wielomiany na czynniki liniowe lub kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem.

Wyznaczamy dziedzinę nierówności, to znaczy zbiór liczb rzeczywistych, dla których wielomian w mianowniku nie przyjmuje wartości zero, lub podajemy tylko zastrzeżenia dotyczące określoności ułamków algebraicznych.

Sporządzamy tabelkę znaków lub szkic wykresu wielomianu $W_l\left(x\right)\cdot W_m\left(x\right).$

Odczytujemy z tabelki znaków lub wykresu rozwiązanie nierówności wymiernej z uwzględnieniem jej dziedziny.

przykład

Chcemy rozwiązać nierówność $\frac{x+2}{x-4}\le \frac{x-1}{x+3}.$

Wyznaczamy dziedzinę tej nierówności

$D=\left\{x\in R:\ x-4\ne 0\ \wedge \ x+3\ne 0\right\}=\left\{x\in R:\ x\ne -3\ \wedge \ x\ne 4\right\}$

Przekształcamy nierówność do postaci $\frac{W_l(x)}{W_m(x)}\le 0.$

$\frac{x+2}{x-4}-\frac{x-1}{x+3}\le 0$

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)-\left(x-1\right)(x-4)}{(x-4)(x+3)}\le 0$

Wykonujemy działania w liczniku ułamka i porządkujemy otrzymane wyrazy.

$\frac{10x+2}{(x-4)(x+3)}\le 0$

$\frac{2(5x+1)}{(x-4)(x+3)}\le 0$

Dla wartości $x$ należących do dziedziny zapisujemy powyższą nierówność w postaci równoważnej nierówności wielomianowej.

$\frac{2(5x+1)}{(x-4)(x+3)\ }\le 0\Longleftrightarrow \left(5x+1\right)\left(x-4\right)\left(x+3\right)\le 0\ \wedge \ x\ne -3\ \wedge \ x\ne 4$

Otrzymany wielomian ma następujące pierwiastki: $-3,-\frac{1}{5},4.$ Sporządzamy szkic wykresu wielomianu.

Na wykresie zaznaczamy przedziały, w których wielomian przyjmuje wartości niedodatnie i uwzględniamy dziedzinę nierówności wymiernej. Odczytujemy wtedy rozwiązanie nierówności wymiernej.

Odp. Nierówność $\frac{x+2}{x-4}\le \frac{x-1}{x+3}$ jest spełniona dla $x\in \left(-\infty; -3\right)\cup \left[-\frac{1}{5};4)\right..$