MegaMatma: Okresowość funkcji trygonometrycznych. Reguła wzorów redukcyjnych. Równania trygonometryczne (R).

Okresowość funkcji trygonometrycznych. Reguła wzorów redukcyjnych. Równania trygonometryczne (R).

rozszerzony
Wiadomo, że dowolny kąt skierowany można zapisać w stopniach lub radianach następująco:

$\alpha +k\cdot {360}^\circ,\ k\in C\ i\ \alpha$ w stopniach lub $\alpha +k\cdot 2\pi ,\ k\in C\ \ i\ \alpha$ w radianach,

gdzie kąt $\alpha$ jest miarą główną kąta skierowanego czyli $\alpha \in <0^\circ;{360}^\circ)$ lub $\alpha \in <0;2\pi ).$ Ramię końcowe dowolnego kąta skierowanego pokrywa się z ramieniem końcowym kąta $\alpha.$

stop
Zobacz tematy "Wyznaczanie wartości..." i "Wartość funkcji sinus,..."

Stąd więc, dla $k \in C,$ zachodzą związki (sprawdź regułę w temacie "wyznaczanie wartości...")

$sin({\mathbf \alpha }+k\cdot 2{\mathbf \pi })=sin{\mathbf \alpha }$

$cos({\mathbf \alpha }+k\cdot 2{\mathbf \pi })=cos{\mathbf \alpha }$

$tg\left({\mathbf \alpha }+k\cdot 2{\mathbf \pi }\right)=tg{\mathbf \alpha },\ \ \ \ {\mathbf \alpha }\ne \frac{{\mathbf \pi }}{2}\ i\ {\mathbf \alpha }\ne \frac{3}{2}{\mathbf \pi }$

$ctg\left({\mathbf \alpha }+k\cdot 2{\mathbf \pi }\right)=ctg{\mathbf \alpha },\ \ \ \ \ {\mathbf \alpha<br /> }\ne 0\ \ \ i\ {\mathbf \alpha }\ne {\mathbf \pi }$

Związki pokazują, że wartości funkcji trygonometrycznych o argumencie $\alpha$ nie zmieniają się, gdy kąt $\alpha$ zwiększymy lub zmniejszymy o wielokrotność kąta $2\cdot\pi .$ O takich funkcjach mówimy, że są okresowe o okresie $2\cdot k\pi$ .

Dla funkcji sinus i kosinus najmniejszym dodatnim okresem jest $2\pi$ i liczbę $2\pi$ nazywamy okresem podstawowym tych funkcji.

Dla funkcji tangens i kotangens okresem podstawowym jest liczba $\pi .$ Wynika to z definicji tych funkcji, gdyż ramiona końcowe kątów $\alpha \ i\ (\pi+\alpha)$ w I. i III. ćwiartce układu współrzędnych lub w II. i IV. są swymi przedłużeniami i tworzą proste. Punkty $P\ i\ P^',$ o tych samych promieniach wodzących $r,$ obrane na końcowych ramionach tych kątów są symetryczne względem punktu $(0, 0).$

Sprawdzimy dla tangensa

$tg\alpha =\frac{y}{x};\ \ \ \ tg\left(\pi +\alpha \right)=\frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}$

Natomiast dla sinusa i cosinusa

$sin<br /> \alpha =\frac{y}{r};\ \ \ \ {sin(\pi +\alpha)}=\frac{-y}{r}=-\frac{y}{r}$

$cos<br /> \alpha =\frac{x}{r};\ \ {cos (\pi +\alpha)}=\frac{-x}{r}=-\frac{x}{r}$

Stąd więc zachodzą związki (do zapamiętania)

$sin({\mathbf \pi }+{\mathbf \alpha })=-sin{\mathbf \alpha }$

$cos({\mathbf \pi }+{\mathbf \alpha })=-cos{\mathbf \alpha }$

$tg\left({\mathbf \pi }+{\mathbf \alpha }\right)=tg{\mathbf \alpha }$

$ctg\left({\mathbf \pi }+{\mathbf \alpha }\right)=ctg{\mathbf \alpha }$

poleć znajomemu drukuj

Okresowość funkcji trygonometrycznych. Reguła wzorów redukcyjnych. Równania trygonometryczne (R).

Podobne tematy: