Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]

 Jak korzystać z MegaMatmy? Zobacz "mini podręcznik użytkownika"!

Zrealizuj kod | Mapa serwisu | Rozmiar tekstu: A A A
Strona głównaUczniowie...Ponadgimnazjalna...Rachunek ...(R)Interpretacja ...

12.3 (R)Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej. Zastosowania.

Poniżej bezpłatny fragment tematu. Aby korzystać z całych zasobów serwisu wykup dostęp do treści płatnych: obszernych tematów, klasówek, testów i arkuszy egzaminacyjnych z rozwiązaniami. Zobacz opcje płatności

Definicja pochodnej

Pojęcie pochodnej jest jednym z najważniejszych pojęć w matematyce. Definicja pochodnej opiera się na definicji granicy funkcji i metodach jej obliczania. Warto zatem wcześniej przypomnieć ten materiał.

stop
Informacje o granicy funkcji i sposobach jej obliczania znajdziesz w temacie 12.1 (R) „Granice funkcji, granice jednostronne, ciągłość funkcji i własności funkcji ciągłych”.

Załóżmy, że dana jest funkcja latex określona w przedziale otwartym latex i wybierzmy argument latex Oczywiście, funkcja może być określona w szerszym zbiorze, w którym zawiera się przedział latex ale nas będzie interesował przedział otwarty latex do którego należy argument latex

 

Określimy teraz nową funkcję wzorem zwaną ilorazem różnicowym funkcji latex w punkcie latex

 

latex

 

Widzimy, że funkcja ta jest określona w przedziale latex z wyjątkiem punktu latex (bo musi być latex aby uniknąć dzielenia przez zero).

 

stop
Wyrażenie latex nazywamy przyrostem argumentu i oznaczane jest jako latex a wyrażenie latex nazywamy przyrostem wartości funkcji dla przyrostu argumentu latex i oznaczane jest jako latex Iloraz różnicowy możemy zapisać wówczas w postaci:

 

latex

 

przykład
Weźmy na przykład funkcję

 

latex

 

i zapiszmy iloraz różnicowy dla tej funkcji w punkcie latex

 

Rozwiązanie.

 

Niech latex Wówczas latex Iloraz różnicowy będzie określony następująco

 

latex

 

Odp. latex

 

Spróbujmy teraz obliczyć granicę ilorazu różnicowego, z powyższego przykładu, w punkcie latex

 

latex

 

Widzimy, że zarówno licznik jak i mianownik dążą do zera, zatem mamy do czynienia z tzw. symbolem nieoznaczonym i aby obliczyć granicę (lub stwierdzić, że nie istnieje), musimy wyrażenie to przekształcić. Rozłożymy licznik na czynniki liniowe (jest to na pewno możliwe, bo liczba latex jest pierwiastkiem licznika).

 

stop

Trójmian kwadratowy latex rozkłada się na czynniki liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest nieujemny i jego rozkład jest następujący:

latex

Rozkład licznika na czynniki jest następujący: latex Wracamy zatem do obliczania granicy.

 

latex

 

Otrzymana granica (czyli liczba latex) jest właśnie pochodną funkcji latex w punkcie latex

 

Sformułujmy zatem ogólną definicję pochodnej funkcji w ustalonym punkcie.


Do góry ∧

                                                                                                                

Promocja tablica interaktywna Interwrite z MegaMatmą

   Majątkowe prawa autorskie do wszystkich treści znajdujących się w serwisie należą do MegaWiedza sp. z o.o., ul. Zakrzewki 21a, 95-082 Dobroń.

Prawa autorskie podlegają ochronie przewidzianej w ustawie z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych.