MegaMatma: Potęga iloczynu. Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach.

Potęga iloczynu. Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach.

Jednym z praw działań na potęgach liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych jest potęga iloczynu liczb.

przykład
Zapisz w postaci potęgi iloczynów.

A. ${\ \ \ \left(3\cdot 5\right)}^3,$ B. ${\ \ \left(4\cdot \frac{3}{8}\right)}^5$

Skorzystamy z definicji potęgi, prawa łączności mnożenia i przemienności mnożenia

Rozwiązania:

A. ${\ \left(3\cdot 5\right)}^3=\underbrace{\left(3\cdot 5\right)\cdot \left(3\cdot 5\right)\cdot \left(3\cdot 5\right)}_{3\ czynniki}=\underbrace{\left(3\cdot 3\cdot 3\right)}_{3\ czynniki}\ \cdot\ \underbrace{\left(5\cdot 5\cdot 5\right)}_{3\ czynniki}=3^3 \cdot 5^3$

B. ${\left(4\cdot \frac{3}{8}\right)}^5=\underbrace{\left(4\cdot \frac{3}{8}\right) \cdot \left(4\cdot \frac{3}{8}\right)\cdot \left(4\cdot \frac{3}{8}\right)\cdot \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)\cdot \left(4\cdot \frac{3}{8}\right)}_{5\ czynnikow}=\underbrace{ \left(4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\right)}_{5\ czynnikow}\cdot \underbrace{\left( \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}\right)}_{5 \ czynnikow}{{=\left(4\right)}^5\cdot \left(\frac{3}{8}\right)}^5$

reguła

Potęga iloczynu liczb różnych od zera, jest równa iloczynowi potęg tych liczb z zachowaniem wykładników

${\left(a\cdot b\right)}^n={\left(a\right)}^n\cdot {\left(b\right)}^n$

Oblicz wartości potęg iloczynów.

A. ${\left(3\cdot 7\right)}^2;$ B. ${\left(a\cdot 5\cdot 3\right)}^3$

Rozwiązania:

Tym razem korzystamy z powyższej reguły i definicji potęgi

A. ${\left(3\cdot 7\right)}^2=3^2\cdot 7^2=3\cdot 3\cdot 7\cdot 7=9\cdot 49=441$

B. ${\left(a\cdot 5\cdot 3\right)}^3=a^3\cdot 5^3\cdot 3^3=a^3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 3=a^3\cdot 125\cdot 27=a^3\cdot 3375=3375\cdot a^3$

stop

potęgę iloczynu stosujemy do iloczynu dwóch lub więcej czynników. Odwrotnie przy mnożeniu potęg o tych samych wykładnikach otrzymujemy potęgę o podstawie równej iloczynowi podstaw i takim samym wykładniku np. $2^4\cdot 4^4={(2\cdot 4)}^4.$

poleć znajomemu drukuj

Potęga iloczynu. Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach.

Podobne tematy: