MegaMatma: Postać kanoniczna, postać ogólna i postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

Postać kanoniczna, postać ogólna i postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

Postać ogólna funkcji kwadratowej

$\ \ \ \ \ f\left(x\right)=ax^2+bx+c,$ gdzie $a\ne 0$ .

Współczynnik $a$ decyduje o kierunku i rozpiętości ramion paraboli będącej wykresem funkcji. Jeśli $a>0,$ to ramiona są skierowane w górę, zaś dla $a<0$ - w dół.

Współczynnik $b$ w połączeniu z $a \ i \ b$ pozwala obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli.

Współczynnik $c$ wyznacza punkt $P=(0,c),$ będący punktem przecięcia paraboli z osią $y.$

Postać ogólna jest krótka i łatwa do zapamiętania, ale bez wykonania dodatkowych obliczeń nie można na jej podstawie naszkicować nawet przybliżonego wykresu funkcji kwadratowej.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q,$ gdzie $a\ne 0.$

$f\left(x\right)= a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a},$ gdzie $a\ne 0$ .

Przekształcenie postaci ogólnej do postaci kanonicznej

Każdą funkcję kwadratową

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ dla $a\ne 0$

można przekształcić do postaci

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q.$

Przekształcenie:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

$f\left(x\right)=a\left(x^2+\frac{b}{a}\right)+c,$

$f\left(x\right)=a\left(x^2+2\cdot \frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}<br /> \right)+c,$

$f\left(x\right)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-a\cdot \frac{b^2}{4a^2}+c,$

$f<br /> \left(x\right)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.$

Oznaczając $\Delta =b^2-4ac,$ otrzymujemy $f\left(x\right)= a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}.$

Z postaci kanonicznej możemy bezpośrednio odczytać współrzędne wierzchołka paraboli i określić kierunek ramion.

przykład
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej:

a) $f\left(x\right)=5{\left(x+4,1\right)}^2-7$

$p=-4,1,\ \ q=-7,\ \ W=\left(-4,1,\ -7\right)$

b) $f\left(x\right)=6x^2+5$

$p=0,\ \ q=5,\ \ W=\left(0,\ 5\right).$

przykład
Funkcję kwadratową $f\left(x\right)=0,2x^2+0,3x+0,1$ zapisz w postaci kanonicznej.

I sposób: przekształcenie wzoru

$f\left(x\right)=0,2x^2+0,3x+0,1,$

$f\left(x\right)=0,2\left(x^2+1,5x\right)+0,1,$

$f\left(x\right)=0,2\left(x^2+2\cdot 0,75x+{\left(0,75\right)}^2-{\left(0,75\right)}^2<br /> \right)+0,1,$

$f\left(x\right)=0,2{\left(x+0,75\right)}^2-0,2\cdot {\left(0,75\right)}^2+0,1,$

$f\left(x\right)=0,2{\left(x+0,75\right)}^2-0,0125.$

II sposób: skorzystanie z wyprowadzonych wzorów

$a=0,2,\ \ \ b=0,3,\ \ \ c=0,1$

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{0,3}{2\cdot 0,2}=-\frac{3}{4}=-0,75,$

$q=0,2\cdot {\left(-0,75\right)}^2+0,3\cdot \left(-0,75\right)+0,1=-0,0125,$

Postać kanoniczna $f\left(x\right)=0,2{\left(x+0,75\right)}^2-0,0125.$

stop

Aby wyznaczyć $q$ wystarczy obliczyć wartość funkcji dla argumentu $p,$

$\ \ \ \ \ q=f\left(p\right)$

Aby przejść z postaci ogólnej do postaci kanonicznej należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka.

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową możemy przedstawić w postaci iloczynowej jedynie w przypadku gdy $\Delta \ge 0.$

♣ Jeśli $\Delta >0,$ to postać iloczynowa jest następująca:

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\cdot \left(x-x_2\right),$ gdzie $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, \ \ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

poleć znajomemu drukuj

Postać kanoniczna, postać ogólna i postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

Podobne tematy: