Kąt, którego ramiona przedłużają się, tworząc prostą nazywamy półpełnym.

Jeśli kąt półpełny podzielimy na równych części, to przyjmujemy, że miara kąta będącego częścią tego kąta jest równa jeden stopień

Zamiana jednostek

część kąta półpełnego

- jedna minuta kątowa

- jedna sekunda kątowa


sprawdź tabelę zamiany jednostek miary kąta.

Wprowadzimy miarę kąta zwaną miarą łukową. Jednostką tej miary jest



Na rysunku zaznaczyliśmy kąt środkowy okręgu o środku i promieniu Kąt ten jest oparty na łuku Pamiętamy, że długość łuku zależy od miary kąta. Stąd miara, którą wprowadzamy nazywa się miarą łukową.

Przyjmujemy, że kąt oparty jest na łuku, którego długość jest równa długości promienia okręgu

Wtedy, miara takiego kąta jest równa

Radian jest miarą kąta środkowego okręgu opartego na łuku długości równej długości promienia okręgu.


Udowodnimy, że stosunek długości łuku, na którym oparty jest wybrany kąt środkowy okręgu do promienia tego okręgu nie zależy od wyboru okręgu.

Narysujmy kilka okręgów tak, aby były współśrodkowe.



Na rysunku mamy trzy okręgi oraz zaznaczony kąt środkowy o mierze oparty na łuku długości okręgu

oparty na łuku długości okręgu i na łuku długości okręgu Zastosujemy wzór na długość łuku.

Długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze stopni w kole o promieniu jest równa

Stosunek długości łuku, na którym oparty jest kąt środkowy okręgu do długości promienia tego okręgu jest stały i wyraża miarę łukową tego kąta.

- miara łukowa kąta

Np. dla kąta środkowego opartego na okręgu mamy



więc miara łukowa kąta prostego jest równa co możemy zapisać rad, gdyż rad jest jednostką tej miary.