MegaMatma: Wykresy funkcji danych różnymi wzorami, odczytywanie własności funkcji z wykresu (R)

Wykresy funkcji danych różnymi wzorami, odczytywanie własności funkcji z wykresu (R)

rozszerzony

I. Wykresy funkcji danych różnymi wzorami

Jeżeli dziedzina funkcji $f$ składa się z kilku rozłącznych podzbiorów i w każdym z nich funkcja $f$ jest określona innym wzorem, to mówimy, że funkcja $f$ jest dana różnymi wzorami. Wzór takiej funkcji zapisuje się zazwyczaj za pomocą nawiasu. Własności funkcji danej różnymi wzorami są różne od własności funkcji z każdego pojedynczego podzbioru. Własności te najłatwiej uzyskać rysując wykres funkcji $f$ .

przykład
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{l} x^2+x-6\ \ \ \ \ dla\ \ \ \ x<1 \\ {x}^2-3x\ \ \ \ dla\ \ \ \ x\ge 1 \end{array} \right.$

a) Oblicz $f\left(-1\right)\ \ i\ \ f\left(1\right).$
b) Narysuj wykres funkcji.
c) Jaki jest zbiór wartości funkcji?
d) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie?

Ad.a)
Argument $x=-1$ należy do przedziału $\left(-\infty ;1\right)$ W przedziale tym funkcja jest kreślona wzorem $f\left(x\right)=x^2+x-6.$

Zatem

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)-6$

$f\left(-1\right)=-6.$

Argument $x=1$ należy do przedziału $\left\langle 1;\right.\left.+\infty \right)$ W przedziale tym funkcja jest określona wzorem $f\left(x\right)=x^2-3x.$

Zatem

$f\left(1\right)=1^2-3\cdot 1$

$f\left(1\right)=-2$

Odp. $f\left(-1\right)=-6,\ \ f\left(1\right)=-2$

Ad.b)
Wykres funkcji $f$ jest sumą wykresów funkcji $g\left(x\right)=x^2+x-6$ dla $x>1$ i funkcji $h\left(x\right)=x^2-3x$ dla $x\ge 1.$

• Funkcja $g\left(x\right)=x^2+x-6, \ x<1$

Miejsca zerowe:

$x^2+x-6=0$

$a=1,\ b=1,\ c=-6$

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)$

$\Delta =25,\ \ \ \sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{-1-5}{2}$

$x_1=-3$

$x_2=\frac{-1+5}{2}$

$x_2=2$

Współrzędne wierzchołka $W=\left(p,q\right)\$ paraboli będącej wykresem funkcji $g:$

$p=\frac{-b}{2a}$

$p=-\frac{1}{2}$

$q=\frac{-\Delta }{4a}$

$q=-\frac{25}{4}=-6\frac{1}{4}$

Wartość funkcji dla argumentu $x=1$

$g\left(1\right)=1^1+1-6$

$g\left(1\right)=-4$

Wykres funkcji

• Funkcja $h\left(x\right)=x^2-3x$ lub $x\ge 1$

Miejsca zerowe:

$x^2-3x=0$

$x\left(x-3\right)=0$

$x_1=0$ lub $x_2=3$

Współrzędne wierzchołka $W=\left(p,q\right)$ paraboli będącej wykresem funkcji $h$

$p=\frac{x_1+x_2}{2}$

$p=\frac{0+3}{2}$

$p=1\frac{1}{2}$

$q=h\left(p\right)$

$q={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{3}{2}$

$q=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$

Wartość funkcji dla argumentu $x=1$

$h\left(1\right)=1^1-3\cdot 1$

$h\left(1\right)=-2$

Wykres funkcji

• wykres funkcji $f$ jest sumą wykresów przedstawionych na dwóch poprzednich rysunkach

Wykres funkcji $f$ ma postać

Ad.c)
Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji

Odp. $ZW_f=\left\{y:\ y\in \left\langle -6\frac{1}{4}\right.\left.;+\infty \right)\right \}$

Ad.d)
Z wykresu odczytujemy dla jakich argumentów wykres ten leży powyżej osi $x.$