MegaMatma: Obraz figury w jednokładności. Własności podobieństwa i jednokładności. Związki między odcinkami stycznych i siecznych (R).

Obraz figury w jednokładności. Własności podobieństwa i jednokładności. Związki między odcinkami stycznych i siecznych (R).

rozszerzony

Podobieństwo i jednokładność mają dość szerokie zastosowanie w pracy inżyniera i architekta, np. podczas projektowania budynków czy maszyn.

Teraz bliżej przyjrzymy się jednokładności. Temat ten został już krótko omówiony w gimnazjum , zobacz "Wielokąty w danej skali.." Tam jednokładność zdefiniowano w następujący sposób:

Jednokładnością o środku w punkcie $S$ i skali $k, \ k>0$ lub $k<0,$ nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, które:

- każdemu punktowi $P$ przyporządkowuje punkt $P'$ , leżący na półprostej $SP^{\to }$ lub półprostej dopełniającej $SP^{\to }, ,$ takie że $|SP'| = |k|\cdot | SP|$

- punktowi $S$ przyporządkowuje ten sam punkt

Pojęcie to można również zdefiniować w ten oto sposób:

Jednokładnością o środku w punkcie $S$ i skali $k, \ k\ne 0,$ nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi $P$ przyporządkowuje punkt $P',$ leżący na prostej $SP,$ taki że $\vec{SP^'}=k\cdot \vec{SP.}$

Punkt $P'$ nazywamy obrazem punktu $P$ w jednokładności o środku w punkcie $S$ i skali $k$ ,

co oznaczamy $P'=J^k_S(P)$ oraz $P^'=J^k_S\left(P\right)\Longleftrightarrow \vec{SP^'}=k\cdot \vec{SP}$

stop
Środek jednokładności $S$ , dowolny punkt $P$ oraz jego obraz $P'$ w jednokładności leżą na jednej prostej.

Jeżeli $k>0$ , to jednokładność $J^k_S$ nazywamy dodatnią lub prostą.

Punkty $P$ i $P^'$ leżą wówczas na półprostej ${SP}^{\to },$ przy czym $P'$ leży:

dalej od środka $S$ niż punkt $P$ , gdy $k>1,$

natomiast bliżej środka $S$ niż punkt $P$ , gdy $k<1.$

Jeżeli $k<0,$ to jednokładność $J^k_S$ nazywamy ujemną lub odwrotną. Wtedy punkt $P'$ leży na półprostej dopełniającej półprostą ${SP}^{\to }$ do prostej $SP,$ przy czym $P'$ jest:

dalej od $S$ niż punkt $P$ , gdy $k<-1,$

natomiast bliżej środka $S$ niż punkt $P$ , gdy $k>-1.$

przykład
Określmy, co jest obrazem dowolnego wektora $\vec{AB}$ w jednokładności $J^k_S.$

Aby znaleźć obraz wektora $\vec{AB},$ szukamy obrazów początku $A$ i końca $B$ :

$A^'=J^k_S\left(A\right)\Longleftrightarrow \vec{SA^'}=k\cdot \vec{SA}$

$B^'=J^k_S\left(B\right)\Longleftrightarrow \vec{SB^'}=k\cdot \vec{SB}$

Wiemy, że

$\vec{A^'B^'}=<br /> \vec{A^'S}+\vec{SB^'}=\vec{SB^'}-\vec{SA^'}=k<br /> \cdot \vec{SB}-\ k\cdot \vec{SA}=k\cdot \left(\vec{SB}-\vec{SA}\right)=k\cdot \left(\vec{AS}+\vec{SB}\right)=k<br /> \cdot \vec{AB}$

Odp. Obrazem wektora $\vec{AB}$ w jednokładności o skali $k$ jest wektor

$k\cdot \vec{AB}:$

$J^k_S\left(\vec{AB}\right)=k\cdot \vec{AB}$

poleć znajomemu drukuj

Obraz figury w jednokładności. Własności podobieństwa i jednokładności. Związki między odcinkami stycznych i siecznych (R).

Podobne tematy: