Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]

 Jak korzystać z MegaMatmy? Zobacz "mini podręcznik użytkownika"!

Zrealizuj kod | Mapa serwisu | Rozmiar tekstu: A A A
Strona głównaUczniowie...Ponadgimnazjalna...Ciągi...Ciąg arytmetyczny, ...

5.2 Ciąg arytmetyczny, wzory na n-ty wyraz ciągu i na sumę n początkowych wyrazów.

Poniżej bezpłatny fragment tematu. Aby korzystać z całych zasobów serwisu wykup dostęp do treści płatnych: obszernych tematów, klasówek, testów i arkuszy egzaminacyjnych z rozwiązaniami. Zobacz opcje płatności

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego.


Ciąg liczbowy latex  nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, powstaje z wyrazu poprzedniego przez dodanie stałej liczby latex tzn.

latex dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej latex

Ciąg arytmetyczny musi się składać z co najmniej trzech wyrazów.

Liczbę latex nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Jeśli latex to ciąg arytmetyczny jest rosnący. Jeśli latex to ciąg jest malejący. Dla latex ciąg arytmetyczny jest ciągiem o jednakowych wyrazach, czyli ciągiem stałym.

Mając daną wartość wyrazu pierwszego latex otrzymujemy wzór

latex

który jest wzorem rekurencyjnym ciągu arytmetycznego. Łatwo z niego otrzymać wzór ogólny, czyli wzór na latex-ty wyraz ciągu.


Obliczmy kolejno:

latex

latex

latex itd.

Otrzymujemy następującą postać wzoru na latex-ty wyraz

wzór
latex

Aby obliczyć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego wystarczy znać jego wyraz pierwszy i różnicę.

przykład
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego latex jest równy latex zaś różnica latex

Oblicz latex

Znajdź wzór ogólny tego ciągu.
 

  • Obliczenie latex


latex

latex

Odp. latex
 

  • Obliczenie latex


latex

latex

Odp. latex
 

  • Wzór ogólny  latex


latex

Odp. Wzór ogólny ma postać latex

Związek wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego z funkcją liniową.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego latex przedstawia zależność liniową wyrazu latex od jego numeru latex

Jeślilatex jest dowolną funkcja liniową, to ciąg latex o wyrazie ogólnym

latex  jest ciągiem arytmetycznym.

Aby to pokazać, obliczmy różnicęlatex  między dowolnymi kolejnymi wyrazami tego ciągu.


latex

latex

latex

latex

latex

latex

latex

Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu latex

jest stała i równa współczynnikowi kierunkowemu a funkcji liniowej. Oznacza to, że ciąg o wyrazie ogólnym latex

jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie latex i różnicy ciągu równej latex
 


Do góry ∧

                                                                                                                

Promocja tablica interaktywna Interwrite z MegaMatmą

   Majątkowe prawa autorskie do wszystkich treści znajdujących się w serwisie należą do MegaWiedza sp. z o.o., ul. Zakrzewki 21a, 95-082 Dobroń.

Prawa autorskie podlegają ochronie przewidzianej w ustawie z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych.