MegaMatma: Mnożenie potęg o tych samych podstawach.

Mnożenie potęg o tych samych podstawach.

Jednym z praw działań na potęgach liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych jest mnożenie potęg o tych samych podstawach.

przykład
Zapisz w postaci jednej potęgi iloczyny

A. $8^3\cdot 8^5$ B. ${\ \left(1\frac{3}{4}\right)}^4\cdot {\left(1\frac{3}{4}\right)}^3$

Rozwiązania

A.
${8}^3\cdot 8^5=\underbrace{\underbrace{\left(8\cdot 8\cdot 8\right)}_{3czynniki}\cdot \underbrace{\left(8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\right)}_{5czynnikow}}_{8czynnikow}=\underbrace{8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8}_{8 czynnikow}=8^8=8^{\left(3+5\right)}$

B. ${\ \left(1\frac{3}{4}\right)}^4\cdot {\left(1\frac{3}{4}\right)}^3=\underbrace{ \underbrace{\left.\left(1\frac{3}{4}\right)\cdot \left(1\frac{3}{4}\right)\cdot \left(1 \frac{3}{4}\right)\cdot \left(1\frac{3}{4}\right)\right.}_{4\ czynniki}\cdot \underbrace{ \left.\left(1\frac{3}{4}\right)\cdot \left(1\frac{3}{4}\right)\cdot \left(1\frac{3}{4} \right)\right.}_{3\ czynniki}}_{7\ czynnikow}={\left(1\frac{3}{4}\right)}^7={\left(1 \frac{3}{4}\right)}^{\left(4+3\right)}$

Skorzystaliśmy z definicji potęgi.

reguła

Iloczyn potęg o takich samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym sumie wykładników potęg z zachowaniem podstawy.

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^n{\cdot a}^m{=a}^{\left(n+m\right)}$

Zapisz w postaci jednej potęgi przyjmując $x\ne 0.$

$x^2\cdot x^4\cdot x^2\cdot x^0$

Sposób I
Skorzystamy z definicji potęgi

$x^2\cdot x^4\cdot x^2\cdot x^0=\underbrace{\underbrace{\left(x\cdot x\right)}_{2czynniki}\cdot \underbrace{\left(x\cdot x\cdot x\cdot x\right)}_{4\ czynniki} \cdot \underbrace{\left(x\cdot x\right)}_{2czynniki}}_{8czynnikow}\cdot 1=\underbrace{x \cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}_{8czynnikow}=x^8$

Sposób II
Skorzystamy z reguły