Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]
Równania

7.1 Tworzenie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie i jego rozwiązanie.

W temacie: Równanie, równość i nierówność … odróżniamy równanie od równości (Sprawdź temat: "Równanie, równość...").


Z równaniem mamy do czynienia, gdy w zapisie ze znakiem równości po lewej lub po prawej stronie występuje litera (litery), którą nazywamy niewiadomą.

W równaniu latex po obu stronach występuje niewiadoma latex

Równania są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu zadań z treścią, gdyż zapisanie informacji z zadania w formie jednego lub kilku równań pomaga nam zdecydowanie w jego rozwiązaniu. Do tego konieczna jest wiedza o tym, jak należy rozwiązywać równania.

przykład
Liczbę latex rozłóż na dwa czynniki pierwsze wiedząc, że jednym z nich jest liczba latex

latex - szukany czynnik


stop

Rozkład na czynniki pierwsze oznacza zapisanie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Otrzymujemy równanie latex


Aby obliczyć czynnik latex z podanego iloczynu, trzeba iloczyn podzielić przez drugi czynnik.

latex


latex

Liczba latex jest liczbą pierwszą, bo jest liczbą naturalną większą od latex i ma dokładnie dwa dzielniki.

latex

Rozkład na czynniki pierwszelatex

Odp.latex

Zajmiemy się równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą czyli równaniami postaci

latex gdzie latex są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, co zapisujemy latex i czytamy „liczby latex należą do zbioru liczb rzeczywistych” (oznaczonego przez latex).


O liczbach latex mówimy, że są współczynnikami tego równania, latex - współczynnikiem przy niewiadomej latex - wyrazem wolnym.

przykład
Napisz równanie pierwszego stopnia jeśli wyraz wolny jest o latex większy od współczynnika przy niewiadomej, którym jest liczba latex

Mamy napisać równanie latex


Wiemy, że latex

latex

Równanie latex

Odp.latex


stop

Aby rozwiązać równanie trzeba znaleźć wszystkie liczby spełniające to równanie tzn. wszystkie rozwiązania równania. Każde równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą ma dokładnie jedno rozwiązanie.


show_commercials: 0

przykład
Która z podanych liczb latex jest rozwiązaniem równania


latex
 

  • Sprawdzamy, czy liczba latex spełnia to równanie


latex
 

  • Sprawdzamy liczbę  latex


latex

stop
zauważ, że latex a to wskazuje, że latex nie jest rozwiązaniem.
 

  • Sprawdzamy liczbę latex


latex

Rozwiązaniem równania jest latex bo otrzymaliśmy latex

Odp. latex

Aby rozwiązać równanie kierujemy się prawami wynikającymi z własności dla równości liczb.

Własności równości liczb

Dla liczb latex zachodzi:

Z tego, że latex wynika

latex


Własności równań
Zachowamy wszystkie rozwiązania równania:

  •   wykonując wskazane działania po obu stronach równania
  •   dodając tę samą liczbę do obu stron równania lub dodając wyrażenie ze znakiem przeciwnym występujące po jednej ze stron równania (przenosimy na drugą stronę równania)
  •   odejmując tę samą liczbę od każdej strony równania
  •   mnożąc obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera
  •   dzieląc obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera

 

przykład
Doprowadź podane równanie do równania stopnia pierwszego i rozwiąż je:


latex

Wykonujemy działania po obu stronach równania latex

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie latex, czyli przenosimy latex na lewą stronę (ze znakiem przeciwnym)

latex

latex

Odejmujemy latex to latex

Otrzymaliśmy równanie stopnia pierwszego.


Przenosimy latex na drugą stronę równania ze znakiem przeciwnym czyli dodajemy latex do obu stron

latex

Dzielimy obie strony równania przezlatex

latex

latex

Sprawdzenie
Sprawdzamy czy liczba latex spełnia dane równanie latex

latex

latex

latex

Lewa strona latex jest taką samą liczbą jak prawa strona latex więc liczba (latex jest rozwiązaniem danego równania.

Odp.latex

Ponieważ funkcja liniowa ma dla latex postać latex gdzie latex to równaniem liniowym nazywamy równanie

latex gdy latex

Zauważ, że w równaniu liniowym nie ma warunku latex Stąd każde równanie pierwszego stopnia jest liniowym.

zadania z rozwiązaniami

zadanie
Rozwiąż równanie latex przyjmując latex kolejno latex lub latex

dowód
1. Dla latex

latex wartość bezwzględna latex jest równa latex dla latex lub latex

latex

latex odejmujemy latex aby otrzymać latex

latex

latex

latex odejmujemy latex

latex

latex

Sprawdzenie


latex

latex

Odp. latex

2. Dla latex

latex wartość bezwzględna jest równa latex tylko dla liczby latex

latex odejmujemy stronami latex

latex

Sprawdzenie


latex

Odp. latex

3. Dla latex

latex wartość bezwzględna dowolnej liczby jest zawsze dodatnia lub równa latex

Równanie latex nie ma rozwiązań, inaczej jest sprzeczne.

Odp. Brak rozwiązań.

stop
sprawdź temat: (sprawdź temat: "Liczby na osi liczbowej...")
 

zadanie
Kasia zapłaciła w sklepie za latex kg jabłek latex zł i otrzymała resztę z latex zł w postaci latex monet po latex zł i po latex zł. Ile otrzymała monet każdego rodzaju?

dowód
Oznaczenie

latex - liczba monet pięciozłotowych


latex - liczba monet dwuzłotowych

Układamy równanie


latex

Wykonujemy działania


latex

latex odejmujemy od obu stron równania latex

latex dzielimy obie strony równania przez latex

latex

latex

Odp. Kasia otrzymała latex monet pięciozłotowych i latex monet dwuzłotowych.

zadania ze wskazówką

zadanie
Zbuduj takie równanie liniowe, aby wyraz wolny był równy latex a rozwiązaniem równania była liczba latex razy większa.

dowód

  • Napisz równanie pierwszego stopnia z niewiadomą latex w ogólnej postaci.
  • Za wolny wyraz wstaw podaną liczbę w zadaniu.
  • Ustal jaka liczba ma być rozwiązaniem równania.
  • Wstaw podane rozwiązanie za latex.
  • Czy masz równanie latex
  • Z tego równania oblicz współczynnik przy niewiadomej latex
  • Napisz równanie.

 

Rozwiązanie.


latex

latex

latex

latex równanie z niewiadomą latex

Kolejno: do obu stron równania dodajemy latex i dzielimy obie strony przez latex


latex

Szukane równanie latex

Odp.latex

zadanie
Dziewczęta szykowały prezenty dla całej klasy. Kupiły latex wstążki, aby wykorzystać do opakowania latex mniejszych i latex większych prezentów. Pocięły wstążkę na kawałki tak, aby wystarczyło na wszystkie paczki i aby długości kawałka krótszego wstążki do dłuższego były w stosunku latex
Jakie były długości pociętych kawałków wstążek ?

I Sposób


Oznaczenie


latex - długość dłuższej wstążki


latex - długość krótszej wstążki

Układamy równanie latex

latex

latex

latex

latex

Odp. latex

II Sposób

dowód
Jeśli stosunek krótszego kawałka wstążki do dłuższego jest latex to w krótszym mieszczą się latex takie same części, a w dłuższym latex

  • Oznacz przez latex długość wspólnej małej części w każdym kawałku.
  • Podaj długości każdego z pojedynczych kawałków wstążki przy pomocy latex
  • Ułóż równanie.
  • Rozwiąż równanie. Czy otrzymałeś latex
  • Oblicz każdą z tych części.

 

Rozwiązanie.


latex - długość małej części

latex - długość mniejszego i większego kawałka wstążki

latex podzielimy obie strony równania przez latex

latex wykonujemy działania

latex

latex to latex

Odp. latex

zadanie
Adam mieszka w odległości latex od Michała. Chłopcy ustalali ile czasu zabiera im przejście z jednego domu do drugiego, Adam twierdzi, że drogę do domu Michała pokonuje z prędkością latex a Michał, że chodzi wolniej, bo z prędkością latex

Zapisz związki między danymi w postaci równań latex stopnia z jedną niewiadomą latex gdzie latex oznacza czas w godzinach. Podaj współczynniki w tych równaniach.


wzór
Zastosujemy wzór na drogę latex pokonywaną z prędkością latex w czasie latex
 

  • Adam


latex

latex

Otrzymujemy równanie pierwszego stopnia z niewiadomą latex


latex

Współczynnik przy niewiadomej latex jest latex a wyraz wolny latex
 

  • Michał

 

latex

latex

latex

Współczynnik przy niewiadomej latex jest latex a wyraz wolny latex


stop
zauważ, że w każdym z uzyskanych równań latex musi być liczba dodatnią, latex

już umiesz

zadanie
Suma dwóch liczb jest równa latex
Ułóż równania pierwszego stopnia do każdego z podanych poleceń:

 

a) Znajdź te liczby, gdy o jednej wiadomo, że jest latex razy większa od drugiej.
b) Znajdź te liczby, gdy wiadomo, że jedna z nich jest równa latex drugiej.
c) Znajdź te liczby, gdy ich różnica jest o latex mniejsza od sumy.

dowód
a)

dowód

  • Wprowadź oznaczenia korzystając z informacji o sumie. Pierwsza liczba latex a druga … .
  • Napisz równanie. Możesz mieć dwie wersje.
  • Doprowadź do postaci równania latex stopnia.
  • Jeśli rozwiążesz to otrzymasz latex

Rozwiązanie.


latex - pierwsza liczba

latex - druga liczba

latex lub latex

Po przekształceniach


Odp.latex lub latex


b)

dowód

  • Wprowadź oznaczenia korzystając z tego, że pierwsza liczba latex a druga latex pierwszej.
  • Napisz równanie.
  • Zamień procent na liczbę.
  • Doprowadź do postaci równania latex stopnia.
  • Jeśli rozwiążesz, to otrzymasz liczby latex

Rozwiązanie.


latex - pierwsza liczba

latex - druga liczba

latex

latex

latex

Odp. latex


stop
rozwiąż przykład c) takim sposobem jak a).


c)
Rozwiązanie.


latex - pierwsza liczba

latex - druga liczba

latex

latex

latex

latex

Odp. latex


stop
jeśli rozwiążesz równanie latex otrzymasz odpowiedź, że szukane liczby są równe latex


show_commercials: 0


Do góry ∧

 

arkusze maturalne megamatma

Szkoła z MegaMatmą