MegaMatma: Mnożenie i dzielenie pierwiastków trzeciego stopnia.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków trzeciego stopnia.

Przypomnienie:

Pierwiastkiem trzeciego stopnia inaczej pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b,$ która podniesiona do potęgi trzeciej jest równa $a.$

$\sqrt[3]{a}=b\$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\ b^3=a$

Stąd

Np. ${(\sqrt[3]{a})}^3=a,$ gdy $a$ jest liczbą dowolną

Np. ${\left(\sqrt[3]{-3}\right)}^3=-3,$ ale również $\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}=-3.$

Obowiązują wzory

$\sqrt[3]{a^3}=a\ \ i\ \sqrt{a^2}=|a|$

gdzie $|a|$ jest wartością bezwzględną z liczby $a.$

stop

pierwiastek trzeciego stopnia istnieje dla liczb ujemnych, w definicji nie ma żadnego warunku na liczby $a\ i \ b,$ zaś pierwiastek kwadratowy istnieje dla liczb dodatnich i jest zawsze dodatni.

Porównaj wyniki działań:

A. $\sqrt[3]{0,008}\cdot \sqrt[3]{125}\ \ i\ \ \sqrt[3]{0,008\cdot 125}\$

B. $\sqrt[3]{27}\ :\sqrt[3]{\left(-\frac{1}{8}\right)}\ \ i\ \ \sqrt[3]{\left(-\frac{27}{8} \right)}$

C. $\sqrt[3]{\left(-\frac{64}{343}\right)}\cdot \sqrt[3]{\left(-\frac{1}{8}\right)}$

i $\sqrt[3]{\frac{8}{343}}$

Rozwiązania:

Z definicji pierwiastka szukamy takiej liczby $b,$ która podniesiona do trzeciej potęgi, da liczbę pod pierwiastkiem!

A.
$\sqrt[3]{0,008}\cdot \sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{\frac{8}{1000}} \cdot \sqrt[3]{5^3}=\sqrt[3]{{\left(\frac{2}{10}\right)}^3}\cdot 5=\frac{2}{10}\cdot 5=\frac{10}{10}=1\ \$

i $\sqrt[3]{0,008\cdot 125}=\sqrt[3]{\frac{8\cdot 125}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{8\cdot 125}}=\sqrt[3]{1}=1$

B.
$\sqrt[3]{27}\ :\sqrt[3]{\left(-\frac{1}{8}\right)}=\sqrt[3]{3^3}\ :\sqrt[3]{{\left(- \frac{1}{2}\right)}^3}=3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}$

i $\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{8}\right)}=\sqrt[3]{{\left(-\frac{3}{2} \right)}^3}=-\frac{3}{2}$

C.
$\sqrt[3]{\left(-\frac{64}{343}\right)}\cdot \sqrt[3]{\left(-\frac{1}{8}\right)}= \sqrt[3]{{\left(-\frac{4}{7}\right)}^3}\cdot \sqrt[3]{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3}= \frac{4}{7}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{7}$

i $\sqrt[3]{\frac{8}{343}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{2}{7}\right)}^3}= \frac{2}{7}$

stop
W obliczeniach na pierwiastkach korzystamy z działań na potęgach i z rozkładu liczby na czynniki pierwsze

reguła

Pierwiastek sześcienny z iloczynu dowolnych liczb $a\ i \ b$ jest równy iloczynowi pierwiastków sześciennych tych liczb.

$\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}\$

Pierwiastek sześcienny z ilorazu dowolnych liczb $a\ i \ b$ jest równy ilorazowi pierwiastków sześciennych tych liczb

$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\ \ dla\ b\ne 0$

poleć znajomemu drukuj

Mnożenie i dzielenie pierwiastków trzeciego stopnia.

Podobne tematy: