MegaMatma: Potęga potęgi.

Potęga potęgi.

Jednym z praw działań na potęgach liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych jest potęga potęgi.

przykład
Oblicz potęgę potęgi $[(\frac{2}{3} )^{2} ]^{3}$

$\frac{2}{3}$ - ułamek podnosimy do potęgi $2,$ a wynik potęgowania do potęgi $3$

Mamy więc potęgę o wykładniku $2$ i drugą potęgę o wykładniku $3,$ czyli potęgę potęgi.

I sposób

$[(\frac{2}{3} )^{2} ]^{3} =(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} )^{3} =(\frac{2\cdot 2}{3\cdot 3} )^{3} =(\frac{4}{9} )^{3} =\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} =\frac{64}{729}$

II sposób

$[(\frac{2}{3} )^{2} ]^{3} =(\frac{2}{3} )^{6} =\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} =\frac{2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3} =\frac{64}{729}$

Wynik jest taki sam, gdyż

$4\cdot 4\cdot 4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64$
i
$9\cdot 9\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 729$

stop
w II. sposobie pomnożyliśmy wykładniki potęg $2\cdot 3 = 6;$ a $6$ jest iloczynem $2 \ i \ 3$

reguła

Potęga potęgi o podstawie różnej od zera jest równa potędze o wykładniku równym iloczynowi wykładników potęg

$(a^n)^m={a}^{n\cdot m}$ Podstawa potęgi pozostaje bez zmian.

Zapisz w postaci potęgi

$\frac{{\left(-1,2\right)}^4\cdot {\left(-1,2\right)}^4\cdot \ {\left(-1,2\right)}^2 \ \ }{{\left[{\left(-1,2\right)}^3\right]}^3}=\frac{{(-1,2)}^{4+4+2}}{{(-1,2)}^{3 \cdot 3}}=\frac{{\left(-1,2\right)}^{10}}{{\left(-1,2\right)}^9}={(-1,2)}^{10-9}={(-1,2)}^1=-1,2$

stop

zapamiętaj, jeżeli obliczamy wartość wyrażenia, w którym występuje tylko mnożenie i dzielenie bez nawiasów, to wykonujemy te działania w takiej kolejności w jakiej są podane (od strony lewej do prawej); wyżej w nawiasach są tylko podstawy potęg.