MegaMatma: Wzór ogólny ciągu. Wyrazy ciągu - wyznaczanie. (R) Ciąg dany wzorem rekurencyjnym.

Wzór ogólny ciągu. Wyrazy ciągu - wyznaczanie. (R) Ciąg dany wzorem rekurencyjnym.

rozszerzony

Badanie czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny?

I. Wzór ogólny ciągu liczbowego

Jeśli pewne liczby ustawimy w kolejności tak, że wiadomo, która liczba znajduje się na którym miejscu, to utworzymy w ten sposób ciąg liczbowy. Kolejne miejsca, na których umieszcza się liczby, numeruje się za pomocą liczb naturalnych dodatnich 1, 2, 3 itd.

Ciąg liczbowy jest więc funkcją, której argumentami są liczby naturalne dodatnie.

Ciąg liczbowy oznaczamy symbolem $\left(a_n\right),$ gdzie $a_n$ oznacza wyraz tego ciągu o numerze $n$ .

Najczęściej stosowanym sposobem określania ciągu jest podanie wzoru wyznaczającego wartość wyrazu ciągu w zależności od numeru miejsca, na którym ten wyraz stoi, tzn.

$a_n=f\left(n\right),\ n\in N_+.$

Jest to tzw. wzór ogólny ciągu liczbowego lub wzór na n-ty wyraz.

Mając dany wzór ogólny ciągu możemy bezpośrednio obliczyć każdy jego wyraz.

przykład

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony wzorem ogólnym $a_n=\frac{3}{7}n-4, \ n\in N_+.$
a) Oblicz drugi i piętnasty wyraz tego ciągu.
b) Którym wyrazem ciągu jest liczba 17?
c) Ile ujemnych wyrazów znajduje się w tym ciągu?

Ad. a)
Aby obliczyć wyraz drugi, we wzorze ogólnym podstawiamy 2 w miejsce n.

$a_n=\frac{3}{7}n-4,\ n\in N_+,$

$a_2=\frac{3}{7}\cdot 2-4,$

$a_2=\frac{6}{7}-4.$

Odp. $a_2=-3\frac{1}{7}.$

Aby obliczyć wyraz piętnasty, we wzorze ogólnym podstawiamy 15 w miejsce n.

$a_n=\frac{3}{7}n-4,\ \ n\in N_+,$

$a_{15}=\frac{3}{7}\cdot 15-4,\ {\ \ \ \ \ \ \ a}_{15}=\frac{45}{7}-4,$

$a_{15}=2\frac{3}{7}.$

Odp. $a_{15}=2\frac{3}{7}.$

Ad. b)
Aby obliczyć, którym wyrazem ciągu jest liczba 17, we wzorze ogólnym podstawiamy 17 w miejsce $a_n.$

$a_n=\frac{3}{7}n-4,\ \ n\in N_+,$

$17=\frac{3}{7}n-4,$

$\frac{3}{7}n=21,$

$n=49.$

Odp. $a_{49}=17$

Ad.c)
Rozwiązujemy nierówność: $a_n<0,\ n\in N_+$

$a_n=\frac{3}{7}n-4,$

$\frac{3}{7}n-4<0,$

$\frac{3}{7}n<4,$

$n<\frac{28}{3},$

$n<9\frac{1}{3}\ i\ n\in N_+$

$n\in \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}.$

Odp. W ciągu znajduje się 9 wyrazów ujemnych.

poleć znajomemu drukuj

Wzór ogólny ciągu. Wyrazy ciągu - wyznaczanie. (R) Ciąg dany wzorem rekurencyjnym.

Podobne tematy: