MegaMatma: Wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 stopni do 180 stopni.

Wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 stopni do 180 stopni.

$a,b$ - przyprostokątne

$a$ - przeciwległa do kąta $\alpha$

$b$ - przyległa do kąta $\alpha$

$c$ - przeciwprostokątna

$\alpha$ - kąt ostry

Każdy kąt ostry można zaznaczyć jako kąt trójkąta prostokątnego.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

$sin\alpha =\frac{a}{c}\ \ \ cos\alpha =\frac{b}{c}\ \ \ tg\alpha =\frac{a}{b}\ \ \ ctg\alpha =\frac{b}{a}$

stop

litery $a, b, c$ w definicjach funkcji trygonometrycznych oznaczają długości boków trójkąta.

Każda przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość mniejszą od długości przeciwprostokątnej

$a<c\ i\ b<c$ oraz $a>0\ i\ b>0\ i\ c>0$ jako długości boków trójkąta.

Własność

$0<sin\alpha <1\ \ i\ \ 0<cos\alpha <1,\$ gdy $\alpha \epsilon (0^\circ;{90}^\circ)\$

Aby umożliwić korzystanie z funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego np. kąta rozwartego musimy odróżnić dwa rodzaje kątów:

1. Kąt płaski czyli każda z dwóch części płaszczyzny utworzona przez dwie półproste o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi.

$O$ - wierzchołek kąta; ${OA}^{\to }\ i\ {OB}^{\to }$ - ramiona kąta

Kątom przyporządkowujemy miary np. kąt prosty ma miarę ${90}^\circ,$ a półpełny ${180}^\circ.$

Na rysunku widać dwa kąty, jeden jest kątem ostrym, a drugi ma miarę większą niż ${180}^\circ.$ Oba mają ten sam wierzchołek i te same ramiona. Wprowadzimy taki rodzaj kąta, który odróżni narysowane kąty.

2. Kątem skierowanym nazwiemy dwie uporządkowane półproste o wspólnym początku zwanym wierzchołkiem kąta. Jedna z półprostych nazywa się ramieniem początkowym kąta, a druga ramieniem końcowym.

Uporządkowanie ramion kąta zaznaczamy łukiem zakończonym strzałką idącą od ramienia początkowego do końcowego i nadającą łukowi zwrot.

Kąt skierowany zaznaczony łukiem o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ma miarę dodatnią.

Kąt skierowany zaznaczony łukiem o zwrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara ma miarę ujemną.

przykład
W pewnym mieście wybudowano koło widokowe z gondolami na wzór London Eye tylko, że gondoli było o połowę mniej.
Wsiadasz do gondoli nr $9,$ na dole koła. Pierwszy dłuższy postój na zrobienie zdjęć jest planowany w miejscu na kole, w którym znajduje się teraz gondola nr $4,$ następny postój jest u góry koła naprzeciwko wejścia i jeszcze jeden w miejscu położonym symetrycznie do pierwszego postoju względem średnicy koła przechodzącej przez wejście.
Gdy twoja gondola zatrzyma się na drugim postoju, to na trzecim zatrzyma się gondola nr $6.$ Koło porusza się niezgodnie z ruchem zegara.

A. Podaj miary kątów skierowanych jakie tworzą promień, na końcu którego zawieszony jest twój wagonik z promieniem poprowadzonym do wejścia w każdym miejscu postoju.

B. Podaj również miarę kąta skierowanego, o który może obrócić się twoja gondola, gdyby od wejścia zmieniła kierunek obrotu i dotarła do $3$ -ego postoju.

Ustal liczbę gondoli, pamiętając, że gondole są ponumerowane w kolejności $1,2,3,\dots$

Rozwiązanie

Łuki między gondolami muszą mieć te same długości, co oznacza, że kąty środkowe oparte na tych łukach mają jednakowe miary. Policz ile takich kątów mamy od gondoli nr $9$ przy wejściu do gondoli nr $4$ stojącej w punkcie $P_1.$

Jest ich $5.$

Znajdujesz się w punkcie $P_2.$ Wtedy gondola nr $6$ dotarła do $P_3,$ a ile kątów minęła od $P_2\ ?$

Przesunęła się o $3$ kąty.

Ile jest wszystkich kątów środkowych, na które zawieszając gondole podzielił konstruktor kąt o mierze ${360}^\circ\ ?$ Skorzystaj z symetrii punktów $P_1\ \ i\ \ P_3,$

Wszystkich kątów jest $16.$

${360}^\circ:16={22}^\circ{30}^'$

A. $+{112}^\circ{30}^',\ \ {+180}^\circ,\ \ {+247}^\circ{30}^'$

B. $-{112}^\circ{30}^'$

poleć znajomemu drukuj

Wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 stopni do 180 stopni.

Podobne tematy: