MegaMatma: Rozkład wielomianu na czynniki. Dzielenie wielomianu przed dwumian ax+b. Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian x-a (R).

Rozkład wielomianu na czynniki. Dzielenie wielomianu przed dwumian ax+b. Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian x-a (R).

Definicja 1.

Wielomianem stopnia $n \in N$ jednej zmiennej $x \in R$ o współczynnikach rzeczywistych nazywamy funkcję postaci

$W\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,$ gdzie $a_0,\ a_1,\ \cdots a_n\in R,\ \ a_n\ne 0$

Definicja 2.

Dwa wielomiany nazywamy równymi, gdy są tego samego stopnia i mają jednakowe współczynniki przy zmiennej w tej samej potędze

Rozłożyć wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów.

przykład
Wyznaczymy iloczyny następujących wielomianów:

$\left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+3x+5\right)=x^4+3x^3+5x^2-5x^3-15x^2-25x+6x^2+18x+30=$

$\ \ \ \ =x^4-2x^3-4x^2-7x+30$

$\left(x-3\right)\left(x^3+x^2-x-10\right)=x^4+x^3-x^2-10x-3x^3-3x^2+3x+30=x^4-2x^3-4x^2-7x+30$

$\left(x-2\right)\left(x^3-4x-15\right)=x^4-4x^2-15x-2x^3+8x+30=x^4-2x^3-4x^2-7x+30$

$\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+3x+5\right)=\left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+3x+5\right)=x^4-2x^3-4x^2-7x+30$

Zauważmy, że w każdym z czterech wyznaczonych iloczynów otrzymaliśmy ten sam wielomian ${W\left(x\right)=x}^4-2x^3-4x^2-7x+30$ rozłożony na czynniki.

W matematyce udowodnione jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.

Każdy wielomian $n$ -tego stopnia $W\left(x\right)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ można rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego postaci $x-a$ lub stopnia drugiego postaci $x^2+px+q$ o ujemnym wyróżniku i rozkład taki jest jednoznaczny, przy czym suma stopni wszystkich czynników jest równa $n.$

stop

Jeśli w wielomianie współczynnik przy najwyższej potędze $a_n \ne 1,$ to możemy ten współczynnik wyłączyć przed nawias i rozłożyć na czynniki wielomian w nawiasie.

Zauważmy, że wielomian $W(x)=x^4-2x^3-4x^2-7x+30$ w przykładzie zapisaliśmy jako iloczyn wielomianów niższych stopni na kilka sposobów. Jednoznaczne będzie tylko przedstawienie

$x^4-2x^3-4x^2-7x+30=(x-2)(x-3)(x^2+3x+5)$

bo spełnia warunki podanego twierdzenia, gdyż wyróżnik trójmianu $x^2+3x+5$

$\Delta =b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20<0$

stop

Z podanego twierdzenia wynika, że w rozkładzie na czynniki wielomianu stopnia nieparzystego wystąpi przynajmniej jeden czynnik liniowy postaci $x-a ,$ gdyż jeśli suma wszystkich stopni równych dwa lub jeden jest nieparzysta, to przynajmniej jeden z nich musi być równy jeden.

Przy rozkładzie wielomianu na czynniki zastosować możemy następujące metody:

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias;
Wzory skróconego mnożenia
Grupowanie wyrazów i po odpowiednim pogrupowaniu wyłączanie wspólnych czynników lub zastosowanie wzorów skróconego mnożenia,
Wyznaczanie pierwiastków wielomianu i wyodrębnianie czynników postaci $x-a,$ gdzie $a$ jest pierwiastkiem wielomianu.

stop
W konkretnych przykładach na ogół stosuje się kombinację podanych metod oraz twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki stopnia pierwszego lub drugiego o wyróżniku mniejszym od zera.

stop
Rozkład wielomianu na czynniki będzie dalej oznaczał zgodność z twierdzeniem, a więc rozkład na czynniki liniowe lub kwadratowe o wyróżniku mniejszym od zera.

Stosowanie podanych metod pomocnych w uzyskaniu rozkładu wielomianu na czynniki omówimy na przykładach.