MegaMatma: Równania trygonometryczna i nierówności trygonometryczne (R).

Równania trygonometryczna i nierówności trygonometryczne (R).

rozszerzony
Równania trygonometryczne.

Z równaniem trygonometrycznym spotykamy się, gdy rozwiązujemy równanie z niewiadomą występującą tylko jako argument funkcji trygonometrycznych. Podobnie w przypadku nierówności zwanych trygonometrycznymi.

Najczęściej każde równanie trygonometryczne sprowadzamy do równań jednej z postaci :

$I\ sinx=m;\ \ \ II\ cosx=m;\ \ \ III\ tgx=m;\ \ \ IV\ ctgx=m,\ m\in R$

$I\ sinx=m,\ \ m\in <-1;1>$

Jeżeli $m\notin <-1;1>,$ to równanie $sinx=m$ jest sprzeczne z uwagi na zbiór wartości funkcji sinus.

Krok 1.
Korzystając z wykresu funkcji $f\left(x\right)=sinx$ możemy zauważyć, że wszystkie wartości $m$ funkcja przyjmuje w przedziale $<-\frac{\pi }{2};\ \frac{\pi }{2}>.$

Ustalamy więc kąt $\alpha \in <-\frac{\pi }{2};\ \frac{\pi }{2}>,$ dla którego $sin\alpha =m.$

Krok 2.
Z własności $\ sin\alpha =sin(\pi -\alpha )\$ i okresowości funkcji sinus otrzymujemy dwie serie rozwiązań

$x={\mathbf \alpha }+2k{\mathbf \pi }\ \ \vee \ \ x=\left({\mathbf \pi<br /> }-{\mathbf \alpha }\right)+2k{\mathbf \pi },\ \ \ \ k\in C$

stop
symbol $\vee$ oznacza spójnik logiczny „lub”, sprawdź tablice symboli i oznaczeń matematycznych.

przykład
Rozwiąż równania

A. $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $sin2x=-\frac{1}{2}\$

Rozwiązania:

A. $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\$

$sinx=sin{60}^\circ$

$x={60}^\circ+k\cdot {360}^\circ\ \ \vee \ \ x=\ {180}^\circ-{60}^\circ+k\cdot {360}^\circ$

$x={60}^\circ+k\cdot {360}^\circ\ \ \vee \ \ x={120}^\circ+k\cdot {360}^\circ,\ \ k\in C$

B. $sin2x=-\frac{1}{2}\$ $sin2x=-sin{\frac{\pi }{6}}$

Z własności $-sin\alpha =sin(-\alpha )$

$sin2x=sin(-\frac{\pi }{6})$

$2x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \ \ \vee \ \ 2x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+2k<br /> \pi$

$2x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \ \ \vee \ \ 2x=\frac{7}{6}\pi +2k\pi$

$x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{7}{12}\pi +k\pi ,\ \ k\in C$

$II\ cosx=m,\ \ m\in <-1;1>$

Równanie $cosx=m$ ma rozwiązanie tylko dla $m\in <-1;1>$ z uwagi na zbiór wartości funkcji kosinus.

Krok 1.
Rysując wykres funkcji $f\left(x\right)=cosx\$ i prostą $y=m$ zauważamy, że wszystkie wartości m z przedziału $<-1;1>\$ funkcja przyjmuje dla argumentów należących do przedziału $\ <\ 0\ ;\ \pi >.$

Ustalamy więc kąt $\alpha \in <0;\ \pi >,\$ dla którego $cosx=m.$

Krok 2.
Z własności $cos\alpha =cos\left(-\alpha )$ i okresowości funkcji kosinus otrzymujemy dwie serie rozwiązań

$x={\mathbf \alpha }+2k{\mathbf \pi }\ \ \vee \ \ x=-{\mathbf \alpha }+2k{\mathbf<br /> \pi },\ \ k\in C$

poleć znajomemu drukuj

Równania trygonometryczna i nierówności trygonometryczne (R).

Podobne tematy: