MegaMatma: Dziedzina wyrażeń wymiernych. Działania na wyrażeniach wymiernych, skracanie (R).

Dziedzina wyrażeń wymiernych. Działania na wyrażeniach wymiernych, skracanie (R).

rozszerzony

Definicja 1.

Wyrażeniem wymiernym zmiennej $x$ nazywamy wyrażenie postaci $\frac{W(x)}{F(x)},$ w którym $W\left(x\right)\ i\ F(x)$ są wielomianami i wielomian w mianowniku nie jest wielomianem zerowym, to znaczy $F(x)\not\equiv 0.$

stop

Zmienną w wyrażeniu wymiernym oznaczać możemy również innymi literami, ale w liczniku i w mianowniku musi być to ta sama litera, np. $\frac{W(y)}{F(y)},\ \ \frac{W(u)}{F(u)},$ itp.

przykład

Obliczyć wartość wyrażenia wymiernego

$\frac{2x^3-3x^2+5}{x^4+2x^3-5x^2-4x+6}$ dla $x=2,\ x=-1,\ x=\sqrt{2}$

Dla $x=2$ mamy $\frac{2{\cdot 2}^3-3{\cdot 2}^2+5}{2^4+2{\cdot 2}^3-5{\cdot 2}^2-4\cdot 2+6}=\frac{9}{10}$

Dla $x=-1$ mamy $\frac{2{\cdot (-1)}^3-3{\cdot (-1)}^2+5}{{(-1)}^4+2{\cdot (-1)}^3-5{\cdot (-1)}^2-4\cdot (-1)+6}=\frac{0}{4}=0$

Dla $x=\sqrt{2}$ mamy $\frac{2{\cdot (\sqrt{2})}^3-3{\cdot (\sqrt{2})}^2+5}{{(\sqrt{2})}^4+2{\cdot (\sqrt{2})}^3-5{\cdot (\sqrt{2})}^2-4\cdot (\sqrt{2})+6}=\frac{4\sqrt{2}-1}{0}$ otrzymaliśmy wyrażenie, które w mianowniku ma zero.

stop

Wyrażenie wymierne $\frac{2x^3-3x^2+5}{x^4+2x^3-5x^2-4x+6}$ nie jest określone dla $x=\sqrt{2}$

Powyższy przykład wskazuje, że dla wyrażeń wymiernych należy wyznaczać zbiory, w którym są one określone, to znaczy wyznaczać ich dziedziny.

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\frac{W\left(x\right)}{F\left(x\right)}$ jest zbiór liczb rzeczywistych, dla których wielomian w mianowniku nie przyjmuje wartości zero, to znaczy $D=\left\{x\in R:\ F(x)\ne 0\right\}$

stop

W przypadku, gdy wielomian $F(x)$ występujący w mianowniku jest stopnia zero, czyli $\ F\left(x\right)=c,$ $c\in R\ i\ c\ne 0,$ to wyrażenie wymierne $\frac{W\left(x\right)}{c}$ jest wielomianem, a każdy wielomian można traktować jak wyrażenie wymierne o mianowniku równym $1$