MegaMatma: Cz.I. Współrzędne wektora i długość wektora na płaszczyźnie. Działania na wektorach i ich interpretacja geometryczna.(R)

Cz.I. Współrzędne wektora i długość wektora na płaszczyźnie. Działania na wektorach i ich interpretacja geometryczna.(R)

rozszerzony

I Współrzędne i długość wektora na płaszczyźnie

Wielkości wektorowe związane są z pewnym kierunkiem. W fizyce takimi wielkościami są prędkość, przyspieszenie, siła, moment siły itp. Matematyczny opis takich wielkości odbywa się za pomocą wektorów.

Wektorem zaczepionym $\vec{AB}$ nazywamy uporządkowaną parę punktów

$A=\left(x_A,y_A\right) \ i \ B=\left(x_B,y_B\right).$

Punkt A jest początkiem, zaś punkt B końcem wektora $\vec{AB}$

Liczby $p=\left(x_B-x_A\right) \ i \ q=\left(y_B-y_A\right)$ nazywamy współrzędnymi wektora zaczepionego $\vec{AB}.$

Zapisujemy to w następujący sposób

$\vec{AB}=\left[p,q\right]=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right]\ \ lub\ \ \vec{AB}=<br /> \left[ \begin{array}{c}<br /> x_B-x_A \\<br /> y_B-y_A \end{array}<br /> \right]$

Zatem wektor na płaszczyźnie może być opisany za pomocą dwóch liczb, zwanych jego współrzędnymi.

stop

Współrzędne wektora $[p, q]$ tworzą uporządkowaną parę liczb, bo zauważ, że różnymi wektorami są np. $[1, -3] \ i \ [-3, 1].$

W fizyce współrzędne wektora nazywają się jego składowymi.

Współrzędne wektora informują nas jak dotrzeć od początku do końca wektora , poruszając się tylko w kierunku poziomym i pionowym. Obowiązują przy tym następujące reguły:

1. Jeśli pierwsza współrzędna wektora $[p, q]$ jest dodatnia i równa $p,$ to przesuwamy się od początku wektora o $p$ jednostek w prawo i zaznaczamy wektor $[p, 0].$

2. Jeśli pierwsza współrzędna wektora $[p, q]$ jest ujemna i równa $p,$ to przesuwamy się od początku wektora o $|p|$ jednostek w lewo i zaznaczamy wektor $[p, 0].$

3. Jeśli druga współrzędna wektora $[p, q]$ jest dodatnia i równa $q,$ to przesuwamy się od końca wektora $[p, 0]$ o $q$ jednostek do góry i dochodzimy do końca wektora $[p, q].$

4. Jeśli druga współrzędna wektora $[p, q]$ jest ujemna i równa $q,$ to przesuwamy się od końca wektora $[p, 0]$ o $|q|$ jednostek w dół i dochodzimy do końca wektora $[p, q].$

przykład
Punkt $A=(2,-3)$ jest początkiem wektora $\vec{AB}=\left[-3,\ \ 4\right].$ Znaleźć współrzędne końca tego wektora.
Pierwsza współrzędna wektora jest ujemna, zaś druga dodatnia. Aby z punktu $A$ dojść do punktu $B,$ należy przesunąć się o $3$ jednostki w lewo i o $4$ jednostki do góry.

$B=\left(x_B,y_B\right)$

$x_B-x_A=-3$

$x_B=x_A+\left(-3\right)$

$x_B=2+(-3)$

$x_B=-1$

$y_B-y_A=4$

$y_B=-3+4$

$y_B=1$

Odp. $B=\left(-1,\ \ 1\right)$

stop
Aby obliczyć współrzędne końca wektora należy do współrzędnych początku wektora dodać odpowiednie współrzędne wektora.

Oprócz oznaczenia $\vec{AB},$ w którym wyraźnie zaznaczony jest początek i koniec wektora, używamy również oznaczeń wektorów za pomocą małych liter alfabetu łacińskiego ze strzałką nad literą: $\vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{u} , \ \vec{v}.$

poleć znajomemu drukuj

Cz.I. Współrzędne wektora i długość wektora na płaszczyźnie. Działania na wektorach i ich interpretacja geometryczna.(R)

Podobne tematy: