MegaMatma: Pierwiastek stopnia dowolnego i prawa działań na pierwiastkach. Niewymierność pierwiastka kwadratowego z liczby 2.

Pierwiastek stopnia dowolnego i prawa działań na pierwiastkach. Niewymierność pierwiastka kwadratowego z liczby 2.

Definicja

Potęgą o podstawie $a,$ gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą i wykładniku naturalnym $n>1$ nazywamy liczbę

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}_{n\ \ czynnikow}\ \$

Oznaczmy iloczyn $n$ czynników literą $b,$ wówczas działanie potęgowania możemy zapisać następująco

$a^n=b.$

Przy wykonywaniu potęgowania szukamy liczby $b,$ gdy dane są liczby $a \ i \ n.$

przykład
Jeśli $a=3,\ n=2$ to $3^2=b,$ stąd $b=9.$

Dla równości $a^n=b$ możemy sformułować jeszcze dwa zadania. Mianowicie

1) Znajdź liczbę $a$ , gdy dane są liczby $n \ i \ b,$ $(?)^n=b.$

2) Znajdź liczbę $n$ , gdy dane są liczby $a \ i \ b,$ $a^{?}=b.$

Pierwsze działanie nosi nazwę pierwiastkowania, drugie logarytmowania.

Zajmiemy się teraz pierwiastkowaniem.

Znasz już pierwiastki kwadratowe i sześcienne, to jest pierwiastki $2$ -go i $3$ -ego stopnia.

Podamy teraz definicję pierwiastka stopnia n, gdzie n jest liczbą naturalną większą lub równą $2.$

Definicja

Niech $n\ge 2$ będzie liczbą naturalną parzystą.

Pierwiastkiem $n$ -tego stopnia z liczby rzeczywistej nieujemnej $b$ nazywamy taką liczbę nieujemną $a,$ że $a^n=b.$

Niech teraz $n\ge 3$ będzie liczbą naturalną nieparzystą.

Pierwiastkiem $n$ -tego stopnia z liczby rzeczywistej $b$ nazywamy taką liczbę $a,$ że $a^n=b.$

Pierwiastek $n$ -tego stopnia z $b$ oznaczamy symbolem $\sqrt[n]{b}.$

Zatem $\sqrt[{\ \ \ n}]{b}=a\ \ \ \ \$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\ \ \ a^n=b.\$

stop

Dla dowolnej liczby nieujemnej $b$ i dowolnej liczby naturalnej $n\ge 2\$ istnieje tylko jedna liczba nieujemna $a$ taka, że $a^n=b.$

Pierwiastki z liczb nieujemnych nazywamy pierwiastkami arytmetycznymi. Nie definiujemy pierwiastka stopnia parzystego z liczby ujemnej. Wiesz dlaczego ?

przykład
$\sqrt[4]{625}=5$    bo $5^4=625,\$

$\sqrt[3]{64}=4$    bo $4^3=64,$

$\sqrt[8]{256}=2$    bo $2^8=256,$

$\sqrt[5]{-32}=-2$    bo ${\left(-2\right)}^5=-32,$

$\sqrt[4]{\frac{81}{625}}=\ \frac{3}{5}$    bo ${(\frac{3}{5})}^4=\frac{81}{625},$

$\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}=-\frac{2}{5}$    bo ${(-\frac{2}{5})}^3=-\frac{8}{125}.$