MegaMatma: Stosunek pól wielokątów podobnych.

Stosunek pól wielokątów podobnych.

Wielokąty podobne to takie wielokąty, których odpowiadające kąty mają równe miary i odpowiadające boki są proporcjonalne.

Wielokąty podobne

Przekształcenie w wyniku którego jedna z figur jest obrazem drugiej i obie są do siebie podobne nazywamy podobieństwem.

Dokładniej:

Podobieństwo o skali $k, \ k>0$ , nazywamy przekształcenie płaszczyzny (przestrzeni), które każdym dwóm punktom $A \ i \ B$ płaszczyzny (przestrzeni) przyporządkowuje punkty $A' \ i \ B'$ takie, że $|A'B'| = k\cdot |AB|$ .

Jeżeli istnieje podobieństwo o skali $k, \ k>0$ , przekształcające figurę $F \ na \ F'$ , to mówimy, że figury $F \ i \ F'$ są podobne w skali $k$ , co zapiszemy $F\sim F'$ (figura $F'$ jest obrazem figury $F$ w podobieństwie o skali $k$ ).

przykład
Co możemy powiedzieć o figurach?

Jeżeli długości odcinków $\frac{b_{{\rm 1}}}{b_{{\rm 2}}}{\rm =}k,$ to $b_{{\rm 1}}{\rm =}k\cdot b_{{\rm 2}}$

W przypadku okręgów porównujemy długości ich promieni:

$\frac{r_{{\rm 1}}}{r_{{\rm 2}}}{\rm =}k,$ to $r_{{\rm 1}}{\rm =\ }{k\cdot r}_{{\rm 2}}{\rm \ }$

$L_{{\rm 1}}{\rm =2}\pi r_{{\rm 1}}{\rm =2}\pi \cdot k\cdot r_{{\rm 2}}{\rm =}k\cdot {\rm 2}\pi r_{{\rm 2}}{\rm =}k\cdot L_{{\rm 2}}$

Wniosek:
Jeżeli stosunek długości promieni dwóch okręgów jest równy liczbie $k, \ k>0$ , to również stosunek długości okręgów jest równy $k.$

Kwadrat ma wszystkie boki i kąty równe, więc odpowiadające boki kwadratów z rysunku są proporcjonalne oraz $\frac{c_1}{c_2}=k$ czyli $c_1=k\cdot c_2$

Odp. Odcinki o długościach $b_1 \ i \ b_2$ są podobne, okręgi $o(O_1, r_1) \ i \ o(O_2, r_2)$ są podobne oraz kwadraty o bokach długości $c_1 \ i \ c_2$ są podobne.

Stwierdzenie z odpowiedzi do przykładu można uogólnić:

reguła

Dwa dowolne niezerowe odcinki są podobne. Dwa dowolne okręgi są podobne.
a co za tym idzie

Dwa dowolne koła są podobne. Dwa dowolne kwadraty są podobne.
więcej:

Dwa dowolne wielokąty foremne o takiej samej liczbie boków są podobne.

przykład
Czy figury przedstawione poniżej są podobne?

$|AB| = 7,5cm; \ |A'B'| = 6cm; \ |BC| = 5cm; \ |B'C'| = 4cm$

$\frac{{\rm |}AB{\rm |}}{{\rm |}A^{{\rm '}}B^{{\rm '}}{\rm |}}{\rm =}\frac{{\rm<br /> 7,5}}{{\rm 6}}{\rm =}\frac{{\rm 5}}{{\rm 4}}$

$\frac{\left|BC\right|}{\left|B^{{\rm '}}C^{{\rm '}}\right|}{\rm =}\frac{{\rm 5}}{{<br /> \rm 3}}$

$\frac{{\rm 5}}{{\rm 3}}{\rm \ }\ne {\rm \ }\frac{{\rm 5}}{{\rm 4}}$

Odp. Figury $F \ i \ F'$ nie są podobne, stosunki odpowiadających sobie odcinków nie są równe.

stop

Aby rozpoznać wielokąty podobne o takiej samej liczbie boków trzeba sprawdzić czy długości boków odpowiadających są w tej samej skali i czy kolejne kąty mają równe miary.

poleć znajomemu drukuj

Stosunek pól wielokątów podobnych.

Podobne tematy: