MegaMatma: Zastosowania funkcji wykładniczych do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych i w kontekście praktycznym

Zastosowania funkcji wykładniczych do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych i w kontekście praktycznym

I Model wykładniczy

Niech funkcja $f\left(t\right),\ t\ge 0,$ opisuje pewną wielkość zmieniającą się w czasie . Wielkość ta zmienia się zgodnie z modelem wykładniczym, jeśli

$f\left(t\right)=b\cdot a^t,$ gdzie $a>0\ ,\ a\ne 1 \ i \ t\ge 0.$

stop
Liczby $a \ i \ b$ są na ogół wyznaczane doświadczalnie.

Jeśli $a>1$ , to mamy do czynienia ze wzrostem wykładniczym.

Wzrost wykładniczy jest wzrostem bardzo szybkim. Często nazywa się go wzrostem gwałtownym. Jest on znacznie szybszy nie tylko od wzrostu liniowego opisanego przez funkcję

$g\left(t\right)=at,\ a>0,$ ale także od wzrostów opisanych przez funkcje potęgowe

$h\left(t\right)=b\cdot t^n \ dla \ b>0 \ i \ n\in N_+.$

Dla małych wartości czasu wzrost wykładniczy może być nawet wolniejszy niż wzrost liniowy, ale począwszy od pewnego momentu (różnego dla różnych zjawisk) tempo wzrostu krzywej z modelu wykładniczego jest już znacznie większe niż w przypadku modeli opisywanych przez funkcje

$h\left(t\right)=b\cdot t^n \ dla \ b>0 \ i \ n\in N_+.$

stop
Funkcja rosnąca w przedziale $<a; b>,$ której wykres jest w tym przedziale „podobny” do wykresu funkcji wykładniczej jest funkcją rosnącą coraz szybciej czyli tempo wzrostu funkcji jest szybkie.

Z przedstawionego wykresu odczytujemy, że dla $t>8$ wartości funkcji $f\left(t\right)=3^t$ zaczynają przewyższać wartości funkcji $g\left(t\right)=100t \ i \ h\left(t\right)=t^4$ i im większy jest czas , tym różnice pomiędzy wartościami tych funkcji są większe.

Dla $a\in \left(0;\ 1\right)$ mamy do czynienia ze spadkiem wykładniczym czyli funkcja $f\left(t\right)=b\cdot a^t,$ maleje coraz wolniej.

Dokonując pomiaru wartości wielkości opisanej ustalonym modelem wykładniczym stwierdza się, że w stałych odstępach czasu zwiększają się one lub zmniejszają o ten sam procent.

Wiele zjawisk w przyrodzie odbywa się (przynajmniej w pewnej fazie ich trwania) według modelu wykładniczego. Są to między innymi: promieniotwórczość naturalna, wzrost lub spadek liczby populacji, stygnięcie ciał itd. Omówimy je w kolejnych przykładach i zadaniach.

Funkcję $f\left(t\right)=ba^t$ można przedstawić na wiele sposobów, tzn. można stosować do jej opisu różne podstawy a funkcji wykładniczej.

Twierdzenie

Dla dowolnych dodatnich i różnych od jedynki liczb $a \ i \ c$ istnieje taka liczba $k\ne 0,$ że funkcje $f\left(t\right)=ba^t \ i \ g\left(t\right)=bc^{kt}$ są równe, tzn.

$ba^t=bc^{kt}$ dla dowolnego $t\ge 0.$