MegaMatma: Sinus sumy i cosinus sumy kątów. Suma sinusów i suma cosinusów. Różnica sinusów i różnica cosinusów kątów. Tożsamości trygonometryczne (R).

Sinus sumy i cosinus sumy kątów. Suma sinusów i suma cosinusów. Różnica sinusów i różnica cosinusów kątów. Tożsamości trygonometryczne (R).

rozszerzony

Poznamy wzory, które pozwolą nam zapisać np. sinus sumy dwóch kątów ${sin \left(\alpha +\beta)\ }$ przy pomocy funkcji sinus i kosinus kątów $\alpha \ i\ \beta .$

W drugiej części poznamy wzory zastępujące np. sumę takich samych funkcji trygonometrycznych $sin\alpha +sin\beta$ iloczynem funkcji sinus i kosinus kątów będących połową sumy lub różnicy $\alpha \ i\ \beta .$

Funkcje trygonometryczne sum i różnic kątów

Na rysunku zaznaczono dowolne kąty skierowane o miarach $\alpha ,\ \beta ,\ -\beta$ umieszczone w układzie współrzędnych z wyróżnionym kołem o promieniu $r=1.$

Sumą kątów skierowanych $\ \alpha \ i \ \beta \$ nazywamy kąt o mierze $\alpha +\beta ,$ który w układzie współrzędnych zaznaczamy następująco: obracamy początkowe ramię kąta $\beta$ tak, aby pokryło się z końcowym ramieniem kąta $\alpha$ (rysunek drugi), wtedy początkowe ramię kąta $\alpha$ i końcowe $\beta$ wyznaczają szukaną sumę.

Różnicę $\alpha -\beta$ wyznaczamy podobnie jako $\alpha +(-\beta )$ uwzględniając przeciwny zwrot kąta $-\beta .$

Na ramionach końcowych każdego z kątów $\alpha ,\ \beta ,\ \alpha +\beta$ zaznaczono punkt przecięcia z kołem trygonometrycznym. Współrzędne tych punktów są kosinusem i sinusem odpowiedniego kąta, gdyż promień wodzący każdego z tych punktów jest równy $1$ czyli $r = 1$ (porównaj przykład 1 z tematu: ("Funkcje trygonometryczne argumentu....").

Łączymy punkty $R \ i \ A$ oraz $Q \ i \ P'.$ Powstałe w ten sposób trójkąty przystające $ARO \ i \ P'QO$ są równoramienne o kącie między ramionami równym $\alpha +\beta .$

Punkt $R$ ma współrzędne $\left(cos\left(\alpha +\beta),\ {sin \left(\alpha +\beta)\ }).\ \$

Spełniony jest warunek $\left|P^'Q\right|=|RA|$

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych (Temat : "Punkt przecięcia...").

$\ \left|P^'Q\right|=\ \sqrt{{\left(cos\alpha -cos\beta \right)}^2+{\left(sin \alpha +sin\beta \right)}^2} \ \ \ i \ \ \ \left|RA\right|=\sqrt{{\left({cos \left(\alpha +\beta)\ }-1)}^2+{\left({sin \left(\alpha +\beta)\ }-0)}^2} \$

${cos}^2 \alpha -2cos\alpha cos\beta +{cos}^2\beta +{sin}^2\alpha +2sin\alpha sin\beta +{sin}^2 \beta {=cos}^2\left(\alpha +\beta \right)-2{cos \left(\alpha +\beta)\ }+1+{sin}^2( \alpha +\beta )$

$2-2cos\alpha cos\beta +2sin\alpha sin\beta =2-2cos(\alpha +\beta )$