MegaMatma: Nierówności wielomianowe (R).

Nierówności wielomianowe (R).

rozszerzony

Definicja 1.

Niech $W\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_1x+a_0$ be?dzie wielomianem stopnia $n.$

Nierównością wielomianową (algebraiczną) stopnia $n$ nazywamy nierówność, którą można zapisać w jednej z następujących postaci:

$W\left(x\right)\ge 0 ;\ \ \ W\left(x\right)>0 ;\ \ \ W\left(x\right)\le 0;\ \ \ W\left(x\right)<0.$

Każdą liczbę $x$ spełniającą odpowiednią nierówność nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.

Zbiorem rozwiązań nierówności wielomianowej nazywamy zbiór wszystkich argumentów wielomianu $W(x)$ spełniających też nierówność.
Rozwiązać nierówność wielomianową oznacza ustalić dla jakich argumentów wartości wielomianu będą, w zależności od postaci nierówności:

nieujemne; dodatnie; niedodatnie; ujemne.

Wielomiany występujące w nierównościach mogą być:
- rozłożone na czynniki liniowe lub kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem,
- podane w innej postaci.

W sytuacji, gdy wielomian jest przedstawiany w postaci iloczynowej, rozwiązywanie nierówności przeprowadzamy następująco:

wyznaczamy pierwiastki wielomianu z uwzględnieniem ich krotności,
sporządzamy tabelkę znaków lub szkic wykresu wielomianu,
odczytujemy z tabelki znaków lub wykresu rozwiązanie nierówności.

Aby wyznaczyć rozwiązanie wielomianu, który nie jest rozłożony na czynniki, podaną wyżej procedurę poprzedzić muszą następujące czynności:

wykonujemy występujące w podanym wielomianie działania,
porządkujemy wyrazy wielomianu i zapisujemy nierówność w jednej z postaci: $W\left(x\right)\ge 0 ;\ \ \ W\left(x\right)>0 ;\ \ \ W\left(x\right)\le 0;\ \ \ W\left(x\right)<0,$
rozkładamy wielomian na czynniki liniowe lub kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem , albo najpierw wyznaczamy pierwiastki wielomianu, jeśli jest to łatwiejsze np. w wielomianie o współczynnikach całkowitych.

przykład
Rozwia?zac? niero?wnos?c? $\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)(x+5)\ge 0 .$

Sposób I

Wielomian $W(x)$ występujący po stronie lewej nierównos?ci jest zapisany jako iloczyn czynników liniowych postaci $x-a.$ Przyrównując do zera ustalamy, że wielomian ten ma następujące pierwiastki: $-5, -2, 1, 3.$ Budujemy tabelkę znaków, tworząc przedziały wyznaczone przez pierwiastki wielomianu . Dla każdego czynnika podajemy znaki, jakie przyjmuje on w poszczególnych przedziałach, a następnie określamy znak iloczynu.

	$\left(-\infty ;-5\right)$	$-5$	$(-5;-2)$	$-2$	$(-2;1)$	$1$	$(1;3)$	$3$	$(3;\infty )$
$x+5$	$-$	$0$	$+$		$+$		$+$		$+$
$x+2$	$-$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$x-1$	$-$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x-3$	$-$		$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
$W(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z tabelki odczytujemy, gdzie wielomian przyjmuje wartości większe lub równe zero.

$\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty ;-5\right]\cup \left[-2;1\right]\cup [3;\infty )$

Nierówność jest spełniona dla $x\in \left(-\infty ;-5\right]\cup \left[-2;1\right]\cup [3;\infty ).$

Sposób II

poleć znajomemu drukuj

Nierówności wielomianowe (R).

Podobne tematy: