MegaMatma: Pierwiastek drugiego i trzeciego stopnia. Przykłady liczb niewymiernych.

Pierwiastek drugiego i trzeciego stopnia. Przykłady liczb niewymiernych.

przykład
Na działce w kształcie kwadratu o polu powierzchni $25$ arów postanowiono posadzić krzewy wzdłuż $\frac{3}{4}\$ obwodu działki pomijając $6$ m na bramę i furtkę. Oblicz ile metrów ogrodzenia zostanie obsadzone krzewami.

Krok 1
Dokonamy zamiany jednostek

$25\cdot a=25\cdot 100m^2=2~500{m}^2$

Krok 2
Skorzystamy ze wzoru na pole kwadratu o boku długości $a$

wzór

$P\ =\ a^2$

Stąd $2500=x^2$

Krok 3
Równanie $x^2=2500$ ma dwa rozwiązania $x = 50$ oraz $x = - 50.$

Wybieramy rozwiązanie. Długość jest liczbą nieujemną, więc $x = 50$ spełnia warunki zadania.

Długość boku działki wynosi $50$ m.

Mówimy, że liczba $50$ jest pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby $2500$ lub inaczej pierwiastkiem kwadratowym z liczby $2500,$ co zapisujemy

$\sqrt{2500}=50$

Krok 4
Skorzystamy ze wzoru na obwód kwadratu o boku długości $a$

wzór

$\ \ L\ =\ 4\cdot a$

Obliczamy liczbę metrów ogrodzenia do obsadzenia krzewami.

$\frac{3}{4}\cdot \left(4\cdot 50\right)-6=\frac{3}{4}\cdot 200-6=\frac{3\cdot 200}{4}-6=3\cdot 50-6=144$

Odp. Krzewami zostanie obsadzone $144$ m brzegu działki.

Pierwiastkiem stopnia drugiego, inaczej kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę nieujemną $b,$ której kwadrat jest równy liczbie $a.$

A więc jeżeli $a \ i \ b$ są liczbami nieujemnymi, to

$\sqrt{a}=b\$ wtedy i tylko wtedy $b^2=a,\ \ a\ge 0\ i\ b\ge 0$

Stąd ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a,$ gdy a jest liczbą nieujemną

Np. ${(\sqrt{5})}^2=5$

$\underbrace{\sqrt{a}}\ \leftarrow$ to jest pierwiastek drugiego stopnia z liczby $a$

$a$ - liczba podpierwiastkowa

stop

zapis $\sqrt[n]{a}$ oznacza pierwiastek stopnia $n$ - tego z liczby nieujemnej $a,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $1.$ W zapisie pierwiastka stopnia drugiego nie piszemy zamiast stopnia liczby $2.$

Sprawdź czy prawdziwe są równości

$\sqrt{2500}=50,\ \sqrt{125}=15,\ \sqrt{1,44}=1,2$

${50}^2=2500$ czyli $\sqrt{2500}=50$

stop

pierwiastek kwadratowy obliczamy z liczby dodatniej lub równej zero $(\sqrt{0}=0)$ i wynik ma być dodatni lub równy zero.

${15}^2\ =\ 225\ i\ 225\ \ne \ 125,$ a więc $\sqrt{125}\ne 15$

${1,2}^2\ =\ 1,44$ czyli $\sqrt{1,44}<br /> \ =\ 1,2$

Odp. tak, nie, tak

stop
zauważ, że ${1,2}^2\ =\ 1,44\$ oraz ${\left(-1,2\right)}^2\ =\ 1,44,$ istnieją więc dwie liczby, które po podniesieniu do potęgi drugiej dają wynik $1,44.$ Ale wobec definicji pierwiastka kwadratowego wynik może być tylko jeden i jest nim liczba dodatnia równa $1,2.$

poleć znajomemu drukuj

Pierwiastek drugiego i trzeciego stopnia. Przykłady liczb niewymiernych.

Podobne tematy: