MegaMatma: Rozwiązywanie równań i nierównosci z wartością bezwględną (R).

ZAREJESTRUJ SIĘ! Skorzystaj z ponad 7000 zadań z ROZWIĄZANIAMI! Zarejestruj się! Zobacz obszerne artykuły MegaMatmy!

ZAREJESTRUJ SIĘ! Zobacz arkusze maturalne i gimnazjalne z ROZWIĄZANIAMI!

ZAREJESTRUJ SIĘ! Otrzymasz 7 dni dostępu do wszystkich płatnych treści GRATIS! WIOSENNA PROMOCJA!!!

Zrealizuj kod | Mapa serwisu | Rozmiar tekstu: A A A

MegaMatma to E-PODRĘCZNIK na każdy poziom edukacji!!!

Strona główna Uczniowie...Szkoła Średnia...Równania i ...Rozwiązywanie ...

Rozwiązywanie równań i nierównosci z wartością bezwględną (R).

rozszerzony

Najprostszym równaniem z wartością bezwzględną jest równanie postaci $|f(x)|=a,$ gdzie $a$ jest pewną stałą. Równanie to:

dla $a<0$ jest sprzeczne,

dla $a=0$ spełnia warunek $\left|f\left(x\right)\right|=0\ \Leftrightarrow \ f\left(x\right)=0,$

dla $a>0$ spełnia warunek $\left|f\left(x\right)\right|=a\ \Leftrightarrow \ f\left(x\right)=a\ \vee \ f\left(x\right)=-a.$ W tym przypadku zbiór rozwiązań równania $|f(x)|=a$ będzie sumą zbiorów rozwiązań równań $f(x)=a$ oraz $f(x)=-a.$

przykład

Chcemy rozwiązać równanie $|x^2+6x-1|=6.$

Równanie to jest równoważne: $x^2+6x-1=6$ lub $x^2+6x-1=-6,$ to znaczy

$x^2+6x-7=0$ lub $x^2+6x+5=0.$

Aby wyznaczyć rozwiązania powyższych równań zastosować możemy wzory Viète'a. Gdy współczynnik $a=1$ wzory te przyjmują postać:

$x_1+x_2=-b,\ \ \ \ \ x_1 x_2=c$

Dla równania $x^2+6x-7=0$ otrzymujemy $x_1+x_2=-6,\ \ \ \ \ x_1 x_2=-7$

warunki te spełniają $x_1=-7,\ \ \ \ \ x_2=1.$

Dla równania $x^2+6x+5=0$ otrzymujemy $x_1+x_2=-6,\ \ \ \ \ x_1 x_2=5$

warunki te spełniają $x_1=-5,\ \ \ \ \ x_2=-1.$

Odp. Rozwiązaniami równania $|x^2+6x-1|=6$ są liczby: $-7,\ -5,\ -1,\ 1.$

Najprostsze nierówności z wartością bezwzględną mogą mieć jedną z następujących postaci:

$\left|f\left(x\right)\right|<a,\ \ \ \left|f\left(x\right)\right|>a,\ \ \ \left|f\left(x\right)\right|\le a,\ \ \ \left|f\left(x\right)\right|\ge a$

Zobaczmy, jak zachowują się te nierówności w zależności od wartości $a.$

poleć znajomemu drukuj

Majątkowe prawa autorskie do wszystkich treści znajdujących się w serwisie należą do MegaWiedza sp. z o.o.

Prawa autorskie podlegają ochronie przewidzianej w ustawie z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych.