MegaMatma: Wielokąty w danej skali. Powiększenie lub pomniejszenie wielokątów.

Wielokąty w danej skali. Powiększenie lub pomniejszenie wielokątów.

Do powiększenia lub pomniejszenia wielokątów może służyć jednokładność.

Jednokładnością o środku w punkcie $S$ i skali $k, \ k>0$ lub $k<0,$ nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, które:

- każdemu punktowi $P$ przyporządkowuje punkt $P^'$ , leżący na półprostej $SP^{\to }$ lub półprostej dopełniającej $SP^{\to }$ , takie że

$|SP'|= |k|\cdot |SP|$

- punktowi $S$ przyporządkowuje ten sam punkt

Punkt $P^'$ nazywamy obrazem punktu $P$ w jednokładności o środku w punkcie $S$ i skali $k,$ co oznaczamy $P'=J^k_s(P).$

Zauważmy, że

$J^{-1}_s(P) = P'$	$\|SP^'\| = \|SP\|$
$J^{-3}_s(P) = P'$	$\|SP^'\| = 3\|SP\|$ bo $\|-3\|=3$
$J^1_s(P) = P'$	$\|SP'\| = \|SP\|$
$J^4_s(P)=P'$	$\|SP'\| = 4\|SP\|$

stop

Dla $k=1$ punkt $P$ i jego obraz $P^'$ pokrywają się.

Obrazem trójkąta $PRT$ w jednokładności o środku w punkcie $S$ i skali $k$ jest trójkąt $P^'R^'T^'$ w którym $J^k_s(P)=P', \ J^k_s(R)=R', \ J^k_s(T)=T'$

stop

Obrazem odcinka w jednokładności o skali $k, \ k\ne 0$ , jest odcinek równoległy do danego.

Obrazem kąta w jednokładności o skali $k, \ k\ne 0$ , jest kąt tej samej miary.

przykład
Przekształćmy czworokąt $KLMN$ w jednokładności o środku w punkcie $S$ i skali $k = 2$

Prowadzimy półproste $SK^{\to }, SL^{\to }, SM^{\to }, SN^{\to }$

Cyrklem odmierzamy długość odcinka $SK$ i z punktu $K$ odkreślamy tę odległość na półprostej $SK^{\to },$ otrzymany punkt oznaczamy $K'.$

Tak samo postępujemy z odcinkami $SL, \ SM \ i \ SN$ odpowiednio na półprostych $SL^{\to }, SM^{\to } \ i \ SN^{\to }$ i otrzymujemy punkty $L', M', N'.$

$|SK'|=2|SK|, \ \ |SL'|=2|SL|, \ \ |SM'|=2|SM|, \ \ |SN'|=2|SN|$

Punkty $K', L', M', N'$ są obrazami punktów $K, L, M, N$ w jednokładności o środku $S$ i skali $k = 2.$

Łączymy punkty $K', L', M', N'$ i otrzymujemy czworokąt $K'L'M'N'$ , który jest obrazem czworokąta $KLMN$ w jednokładności o środku $S$ i skali $k = 2.$

Odp. Rysunek poniżej.

stop

Zauważmy, że gdyby $k=n, \ n\in N_{+}$ , to kolejne odcinki łączące środek jednokładności $S$ z wierzchołkami czworokąta $KLMN$ odkreślalibyśmy $n$ -razy na odpowiednich półprostych o początku w punkcie $S.$

poleć znajomemu drukuj

Wielokąty w danej skali. Powiększenie lub pomniejszenie wielokątów.

Podobne tematy: