Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]
Funkcje

4.3 Rysowanie wykresów funkcji y=f(x+a), y=f(x)+a, znając wykres y=f(x).

W wielu sytuacjach życiowych mamy do czynienia z funkcjami, np. w statystyce gdy podana jest tabela z danymi statystycznymi, to określa ona pewne przyporządkowanie, wg którego każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada element należący do drugiego zbioru.


Definicja

Funkcją latex odwzorowującą zbiór latex w zbiór latex nazywamy takie przyporządkowanie, według którego każdemu elementowi latex należącemu do zbioru latex odpowiada dokładnie jeden element latex należący do zbioru latex

latex - argument funkcji latex
latex lub latex - wartość funkcji latex
latex - dziedzina funkcji latex
latex - przeciwdziedzina funkcji latex
latex - zbiór wartości funkcji latex


Zapisujemy funkcje małymi literami latex


latex - funkcja latex odwzorowujaca zbiór latex w zbiór latex
latex - funkcja latex odwzorowuje zbiór latex na zbiór latex
latex - zapis funkcji używany przy wykresie


przykład
Dane jest odwzorowanie: każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowujemy jej kwadrat. Podaj dziedzinę i zbiór wartości oraz zapisz tę funkcję.


stop
Zauważ, że podane zdanie spełnia warunki definicji funkcji, gdyż dowolnej liczbie naturalnej odpowiada dokładnie jedna liczba, która jest jej kwadratem. Użyty został zapis słowny funkcji.


Rozwiązanie.


latex - liczba naturalna, latex
latex - wartość funkcji dla argumentu latex


Zapisujemy funkcję latex w postaci wzoru


latex


Jest to ciąg liczbowy, który zapisujemy również latex


Dziedzina


latex


Przeciwdziedzina


latex


Zbiór wartości


latex
 

Często funkcję zapisujemy w postaci latex co praktycznie oznacza zbiór wszystkich uporządkowanych par latex gdzie latex jest wartością funkcji latex dla argumentu latex


Zbiór takich par tworzy w układzie współrzędnych wykres funkcji latex


stop
Zauważ, że w podanym przykładzie wykres będzie nieskończonym zbiorem punktów zaznaczonych w prostokątnym układzie współrzędnych leżących na paraboli latex w prawej półpłaszczyżnie o współrzędnych


latex


Przekształcanie wykresów funkcji


Znając wykres funkcji latex mamy za zadanie narysowanie wykresów, które uzyskujemy przy użyciu pewnych przekształceń geometrycznych.


Przesunięcia punktów wzdłuż osi układu współrzędnych


W wyniku przesunięcia punktu latex w układzie współrzędnych uzyskujemy punkt latex który nazywamy obrazem punktu latex


show_commercials: 0

 

przykład
Przesuńmy wzdłuż osi latex punkty latex
o latex jednostki
o latex jednostki
Jakie obrazy otrzymamy?


Rozwiązanie.

Przesunięcie o latex jednostki wzdłuż osi latex oznacza zaznaczenie punktu na prawo od danego punktu w linii równoległej do osi latex


Obrazami punktów latex w tym przekształceniu są latex


Odczytujemy współrzędne


latex

latex

latex

Uzyskane punkty mają drugie współrzędne (rzędne) takie same, a pierwsze (odcięte) zwiększone o latex


Przesunięcie o latex jednostki wzdłuż osi latex oznacza zaznaczenie punktu na lewo od danego punktu w linii równoległej do osi latex


Obrazami punktów latex w tym przekształceniu są latex


Odczytujemy współrzędne


latex

latex

latex

Uzyskane punkty mają drugie współrzędne (rzędne) takie same, a pierwsze (odcięte) zmniejszone o latex


reguła

Po przesunięciu punktu latex wzdłuż osi latex o latex jednostek, liczbę latex dodajemy do odciętej punktu latex i otrzymujemy jako obraz punkt latex gdzie

latex

Jeśli latex przesuwamy w prawo. Jeśli latex przesuwamy w lewo.

przykład
Znane są punkty


latex

Podaj regułę, wg której po przesunięciu wzdłuż osi latex uzyskamy z powrotem punkty


latex

Skorzystaj z rysunku podanego w przykładzie powyżej.


Rozwiązanie.


Korzystając z rysunku zauważamy, że odcięte punktów latex należy zmniejszyć o latex aby uzyskać punkty latex


reguła

Współrzędne punktu latex który po przesunięciu wzdłuż osi latex o latex jednostek pokrywa się z punktem latex obliczamy ze wzorów

latex


przykład
Przesuńmy wzdłuż osi latex punkty latex
o latex jednostki
o latex jednostki
Jakie obrazy otrzymamy?


Rozwiązanie.

Przesunięcie o latex jednostki wzdłuż osi latex oznacza przeniesienie punktu do góry względem danego punktu w linii równoległej do osi latex


Obrazami punktów latex w tym przekształceniu są latex


Odczytujemy współrzędne


latex

latex

latex

Uzyskane punkty mają odcięte takie same, a rzędne zwiększone o latex


Przesunięcie o latex jednostki wzdłuż osi latex oznacza przeniesienie punktu do dołu względem danego punktu w linii równoległej do osi latex


Punkty latex w tym przekształceniu zostały przesunięte do latex


Odczytujemy współrzędne


latex

latex

latex

Uzyskane punkty mają odcięte takie same, a rzędne zmniejszone o latex


reguła


Po przesunięciu punktu latex wzdłuż osi latex o latex jednostek liczbę latex dodajemy do rzędnej punktu latex i otrzymujemy punkt latex gdzie

latex

Jeśli latex przesuwamy do góry. Jeśli latex przesuwamy do dołu.


przykład
Znane są punkty

latex

Podaj regułę, wg której po przesunięciu wzdłuż osi latex uzyskamy z powrotem punkty


latex


Skorzystaj z rysunku do poprzedniego przykładu.


Rozwiązanie.


Korzystając z rysunku zauważamy, że rzędne punktów latex należy zmniejszyć o latex aby uzyskać punkty latex


reguła

Współrzędne punktu latex który po przesunięciu wzdłuż osi latex o latex jednostek pokrywa się z punktem latex obliczamy ze wzorów

latex

Przesunięcia wykresów funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych


przykład
Dany jest na rysunku wykres funkcji latex i dwa wykresy latex



Który z wykresów funkcji latex czy latex jest uzyskany z przesunięcia wykresu funkcji latex wzdłuż osi latex a który wzdłuż osi latex i o ile jednostek?


Rozwiązanie.


Wykresy funkcji latex są figurami przystającymi, każdy jest łamaną zbudowaną z dwóch odcinków.


Wykresy dwóch funkcji latex wskazują, że funkcje mają taką samą dziedzinę, jeden z nich latex jest krzywą uzyskaną z przesunięcia do dołu, wzdłuż osi latex o latex wykresu latex Każdy punkt latex wykresu funkcji latex ma rzędną latex zmniejszoną o latex w stosunku do rzędnej latex odpowiedniego punktu latex wykresu funkcji latex


Wniosek 1
Dla funkcji latex uzyskanej z przesunięcia do dołu o latex wzdłuż osi latex można zauważyć, że wartości funkcji latex są mniejsze o latex od wartości funkcji latex dla tych samych argumentów latex


Zatem latex dla latex

 

Krzywą latex można uzyskać z przesunięcia wykresu funkcji latex w pierwszym etapie wzdłuż osi latex do dołu o latex a w drugim etapie wzdłuż osi latex o latex w prawo.


I etap
Po przesunięciu do dołu wzdłuż osi latex z wykresu funkcji latex uzyskamy wykres funkcji


latex dla latex


II etap
Zaznaczmy wykresy funkcji latex na osobnym rysunku.



Wniosek 2
Zauważmy, że obie funkcje latex mają te same wartości funkcji dla argumentów różniących się o latex


I tak latex

Zatem można napisać wzór na latex w zależności od latex


latex


stop
Zauważ, że efekt uzyskania wykresu funkcji latex w wyniku przesunięć wykresu funkcji latex uzyskamy taki sam jeśli w pierwszym etapie krzywą latex przesuniemy w prawo wzdłuż osi latex o latex i w drugim etapie uzyskany wykres przesuniemy o latex wzdłuż osi latex


przykład
Z wykresów funkcji latex podanych na rysunku wybierz ten, który można otrzymać z przesunięcia wykresu latex wzdłuż osi latex układu współrzędnych .


Rozwiązanie.


Każdy wykres na rysunku jest prostą, ale tylko dwa są do siebie równoległe.


Z rysunku można zauważyć, że każdy punkt wykresu latex można przesunąć o latex do góry wzdłuż osi latex i otrzymać prostą latex Proste te są do siebie równoległe.


Można zapisać, że z przesunięcia o latex wzdłuż osi latex


latex


Prostej latex nie uzyskamy przesuwając wykres funkcji latex wzdłuż osi latex lub wzdłuż osi latex Potrzebujemy do tego wykorzystać inne przekształcenie geometryczne np. obrót.


stop
Zauważ, że prostą latex można uzyskać z przesunięcia wykresu latex w lewo wzdłuż osi latex o latex Zatem latex można zapisać w postaci


latex


Przedstawienie funkcji latex w postaci dwóch związków z funkcją latex sprawdzimy na podstawie wzoru funkcji latex


Otóż
latex


Wtedy latex  daje wzór  latex czyli 

 

latex


Podobnie latex  daje wzór  latex czyli

 

latex


przykład
Jakiego przekształcenia dokonać, aby z wykresu funkcji latex otrzymać wykresy funkcji latex z podanego rysunku?



Podaj wzory funkcji latex przy pomocy latex Ustal miejsca zerowe funkcji latex i podaj funkcję, dla której miejsce zerowe możesz odczytać znając miejsce zerowe funkcji latex


stop

Miejsce zerowe funkcji jest argumentem, dla którego wartość funkcji jest równa latex

Dla funkcji latex  liczba latex jest miejscem zerowym, gdy
latex


Np. dla funkcji latex liczba latex jest miejscem zerowym, bo latex


Rozwiązanie.


Na rysunku wykres funkcji latex leży na prawo od wykresu funkcji latex a wykres funkcji latex poniżej wykresu latex

 

Wszystkie wykresy są figurami przystającymi.


Wykres funkcji latex jest otrzymany z przesunięcia wykresu funkcji latex wzdłuż osi latex o latex jednostki w prawo, zatem wzór funkcji latex zapisany przy pomocy funkcji latex ma postać


latex


Wykres funkcji latex jest otrzymany z przesunięcia wykresu funkcji latex wzdłuż osi latex o latex jednostkę do dołu, zatem wzór funkcji latex zapisany przy pomocy funkcji latex ma postać


latex


Ustalamy miejsca zerowe funkcji

 

  • Dla funkcji latex


latex


latex

 

  • Dla funkcji latex


latex


latex


I warto zauważyć, że latex

 

oznacza wobec latex


równanie latex


Ponieważ funkcja latex przyjmuje wartość latex dla argumentu latex to


latex

latex

Zatem miejsce zerowe funkcji latex można odczytać znając miejsce zerowe funkcji latex której wykres został przesunięty wzdłuż osi latex do położenia wykresu funkcji latex


Wniosek


Jeżeli dane są funkcje latex oraz latex jest miejscem zerowym funkcji latex to miejsce zerowe funkcji latex jest równe latex

 

  • Dla funkcji latex

 

Z rysunku odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji latex są liczby latex


Ze wzoru latex zauważamy, odczytane miejsca zerowe jako rozwiązania równania latex są rozwiązaniami równania latex a nie latex


zadania z rozwiązaniami


zadanie
Odczytaj z rysunku przesunięcie względem osi układu współrzędnych



wykresu funkcji latex tak, aby otrzymać wykres funkcji latex i podaj wzór na latex w zależności od latex
wykresu funkcji latex tak, aby otrzymać wykres funkcji latex i podaj wzór na latex w zależności od latex
wykresu funkcji latex tak, aby otrzymać wykres funkcji latex i podaj wzór na latex w zależności od latex

dowód
Wykresy funkcji latex są figurami przystającymi. Każdy wykres jest sumą dwóch odcinków i punktu.

Jeżeli wykres funkcji latex przesuniemy do góry wzdłuż osi latex o latex jednostki


otrzymujemy przesunięcie:
punktu latex należącego do wykresu funkcji latex do punktu latex należącego do wykresu latex


odcinek o końcach w punktach latex  przesuwamy tak, że pokryje się z odcinkiem o końcach latex


odcinek o końcach latex  przejdzie na odcinek o końcach latex


Zatem z wykresu funkcji latex otrzymamy wykres funkcji latex po przesunięciu wzdłuż osi latex o latex do góry.

 

  • Wzór funkcji latex            

 

latex


Wykres funkcji latex przesuwamy wzdłuż osi latex w lewo tak, aby np. punkt latex przekształcić na punkt latex Przesunięcie jest więc wzdłuż osi latex o latex

 

  • Wzór funkcji latex przy pomocy funkcji latex


latex


Aby z wykresu funkcji latex otrzymać wykres funkcji latex można go w pierwszym kroku przesunąć o latex jednostki do góry wzdłuż osi latex a w drugim kroku przesunąć o latex jednostki w lewo wzdłuż osi latex


I krok
Przesunięcie wykresu funkcji latex o latex wzdłuż osi latex pozwala napisać wzór uzyskanej funkcji, otrzymujemy latex


II krok
Po przesunięciu wzdłuż osi latex o latex punkt latex wykresu latex przechodzi na punkt latex wobec tego trzeba dokonać następnego przesunięcia o latex  wzdłuż osi latex

 

Otrzymujemy wtedy wykres funkcji latex z wykresu latex

 

  • Wzór funkcji latex


latex


Odp. latex

zadanie
Dana jest funkcja latex w postaci tabeli

 

latex latex latex latex latex latex
latex latex latex latex latex latex


Przesuń wykres funkcji latex wzdłuż osi układu współrzędnych tak, aby miejsce zerowe funkcji po przesunięciu było latex


Zbuduj tabelę uzyskanej funkcji.

dowód
Miejsce zerowe funkcji latex jest, jak widać z tabeli, latex Mamy to miejsce zerowe przesunąć do latex Jednym z punktów wykresu będzie punkt latex

stop
Przesunięcie funkcji wzdłuż osi latex zmienia argumenty funkcji zachowując wartości funkcji, a wzdłuż osi latex zachowuje argumenty zmieniając wartości funkcji.


Wobec tego należy przesunąć funkcję latex wzdłuż osi latex


Istnieje liczba a taka, że funkcja latex ma miejsce zerowe latex Zatem


latex


Miejsce zerowe funkcji latex wobec tabeli, jest jedno, więc


latex


latex


Funkcja po przesunięciu jest postaci latex


Budujemy tabelę

latex latex latex latex latex latex
latex latex latex latex latex latex



Odp.

latex latex latex latex latex latex
latex latex latex latex latex latex

zadanie
Podaj jaką postać funkcji otrzymasz po przesunięciu wykresu funkcji latex

 

a) o latex wzdłuż osi latex
b) o latex wzdłuż osi latex i następnie o latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex
c) w lewo o latex jednostki wzdłuż osi latex

dowód
Przesuwamy wykres funkcji latex o latex  wzdłuż osi latex co oznacza, że przesunięcie jest w prawo wzdłuż osi, gdyż latex

A wtedy po przesunięciu otrzymujemy wykres funkcji latex

 

Przesuwamy wykres funkcji latex o latex wzdłuż osi latex i następnie o latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex


Dokonujemy przesunięcia latex o latex wzdłuż osi latex otrzymujemy wykres funkcji


latex


Przesuwamy otrzymany wykres o latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex


i otrzymujemy wykres funkcji latex


Przesunięcie w lewo o latex jednostki wzdłuż osi latex daje wzór funkcji w postaci


latex


Odp. a) latex   b) latex   c) latex

zadanie
Podaj przesunięcie wykresu funkcji latex takie, aby otrzymać wykres funkcji

 

a) latex
b) latex
c) latex

dowód
Aby z latex otrzymać latex trzeba wykres funkcji latex przesunąć o latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex

Aby z latex otrzymać latex trzeba wykres funkcji latex przesunąć o latex jednostki do dołu wzdłuż osi latex


Aby z latex otrzymać latex trzeba wykres funkcji latex przesunąć o latex jednostki w lewo wzdłuż osi latex czyli o latex wzdłuż osi latex a następnie o latex do dołu wzdłuż osi latex


Odp. a) O latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex  b) O latex jednostki do dołu wzdłuż osi latex c) O latex jednostki w lewo wzdłuż osi latex i o latex do dołu wzdłuż osi latex

zadania ze wskazówką


zadanie
Wykonaj w kolejności


Krok 1.
Punkty latex przesuń odpowiednio: latex do położenia latex czyli latex  gdzie latex oraz podaj jakich przesunięć dokonałeś.


Krok 2.
Połącz uzyskane punkty oznaczając je przez latex aby uzyskać figurę geometryczną


Przesuń ją o latex najpierw wzdłuż osi latex a następnie wzdłuż osi latex


Oznacz figurę po przesunięciu używając zapisów latex


Podaj długości odcinków latex


dowód
Krok 1. Zwróć uwagę na punkty, które mają takie same rzędne lub odcięte, co wskazuje na przesunięcie wzdłuż odpowiedniej osi.

Krok 2. Ze współrzędnych punktów po przekształceniu odczytaj długości potrzebnych odcinków.

Rozwiązanie.


Krok 1.
Dane punkty


latex


spełniają warunki latex stąd punkt latex przesuwamy wzdłuż osi latex a punkt latex przesuwamy wzdłuż osi latex i to w pierwszym przypadku o
latex do dołu, a w drugim o latex jednostki w prawo, natomiast punkt latex trzeba przesunąć wzdłuż osi latex o latex jednostki do góry.


Krok 2.
Sporządzamy rysunek i nanosimy oznaczenia


Otrzymaną figurą po połączeniu punktów latex jest trójkąt prostokątny i po przesunięciu otrzymujemy trójkąt przystający do niego o wierzchołkach latex


stop

Z definicji funkcji wynika, że trójkąt jako figura geometryczna ograniczona łamaną zamkniętą nie jest wykresem funkcji. Figury geometryczne możemy również przesuwać w układzie współrzędnych.

Ustalamy długości odcinków, które są przeciwprostokątnymi odpowiednich trójkątów prostokątnych


latex - z trójkąta latex

latex

latex

Podobnie


latex - odpowiednio z trójkątów latex


Odp. Krok 1. latex - wzdłuż osi latex o latex -wzdłuż osi latex o latex - wzdłuż osi latex o latex
Krok 2. Długości odcinków są równe latex

 

zadanie
Na rysunku dane są wykresy latex



Podaj miejsce zerowe funkcji latex i punkt przecięcia funkcji latex z osią latex

dowód
Miejsce zerowe można odczytać z przesunięcia wzdłuż osi latex a punkt przecięcia wykresu funkcji z przesunięcia wzdłuż osi latex

Rozwiązanie.

Oznaczenie
latex

latex

Z rysunku odczytujemy wartość funkcji latex dla argumentu latex i miejsce zerowe funkcji latex


latex


Zatem podstawiając do wzorów funkcji mamy


latex

latex

Wykres funkcji latex przecina oś latex w punkcie latex a funkcja latex ma miejsce zerowe latex


Odp. latex - miejsce zerowe; latex - punkt przecięcia z osią latex

 

zadanie
Dana jest funkcja latex  której wykres zwany parabolą przedstawiono na rysunku.



Punkt latex przesuwamy o latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex


Podaj: wzór funkcji po tym samym przesunięciu oraz argument latex w którym funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.

dowód
Ustal punkt latex zwany wierzchołkiem paraboli i przesuń go.

Rozwiązanie.

Wobec reguły obraz latex punktu latex uzyskany w przesunięciu wzdłuż osi latex o latex jednostek ma współrzędne

 

latex

co dla latex  daje  latex



Wzór funkcji latex  po przesunięciu jest postaci


latex

latex

latex

Punkt latex po przesunięciu ma obraz latex


Tak więc argument, dla którego wartość funkcji latex jest najmniejsza jest latex


Odp. latex

 

zadanie
Punkty latex o odciętej latex o odciętej latex należą do prostej, która jest wykresem funkcji latex Prostą przesunięto wzdłuż osi latex tak aby po przesunięciu przechodziła przez punkt latex a obrazy punktów latex oznaczono latex Oblicz długości odcinków latex

dowód
Długości odcinków oblicz z twierdzenia Pitagorasa tworząc trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnych latex jeśli nie znasz wzoru na długość odcinka.

Rozwiązanie.

Obliczamy rzędne punktów latex


latex

latex

latex

latex

Punkt latex ma odciętą równą latex i rzędną równą latex


Zatem z trójkąta prostokątnego latex


latex

latex

latex

latex

latex

Po przesunięciu proste są równoległe, a punkt latex jest obrazem punktu wspólnego prostej latex i osi latex czyli punktu latex


Zatem wykres funkcji latex przesunięto o latex w górę wzdłuż osi latex


Obliczamy rzędne punktów latex


latex

latex

latex

latex

Przy przesunięciu wzdłuż osi latex odcięte punktów się zachowują, zatem


latex


Współrzędne wierzchołka latex trójkąta prostokątnego latex obliczamy podobnie jak dla punktu latex


latex


Z trójkąta latex


latex

latex

latex

Odp. latex


już umiesz


zadanie
Z podanego na rysunku wykresu funkcji latex po przesunięciu wzdłuż osi latex i osi latex otrzymano wykres funkcji latex Podaj przesunięcia wzdłuż obu osi aby z jednego wykresu otrzymać drugi.

dowód
Przesuwamy wykres latex do położenia latex

Ustalimy przesunięcie wierzchołka latex do latex


Odpowiednie współrzędne tych punktów nie są takie same, a więc trzeba dokonać przesunięcia wzdłuż obu osi.


Aby z punktu latex otrzymać punkt latex trzeba przesunąć dany punkt wzdłuż osi latex do góry i wzdłuż osi latex w prawo.


Krok 1.
Przesuwamy punkt latex do góry o latex wzdłuż osi latex i otrzymujemy punkt latex


Z wykresu funkcji

 

latex


otrzymamy wykres funkcji latex


Krok 2.
Otrzymany punkt latex ma taką samą drugą współrzędną jak punkt latex Wobec tego przesuwamy punkt latex o latex jednostki w prawo wzdłuż osi latex


Z wykresu funkcji


latex


otrzymamy przy tym przesunięciu latex


czyli latex

Dokonując przesunięcia wykresu latex wzdłuż osi latex o latex a następnie wzdłuż
osi latex o latex otrzymujemy wykres funkcji latex


Przesuwamy wykres latex do położenia latex


Wystarczy oczywiście przesunąć o latex jednostki w lewo wzłuż osi latex i o latex jednostki do dołu wzdłuż osi latex


stop

Zauważ, że każde takie złożenie przesunięć jak w ostatnim zadaniu możesz wykonywać zmieniając kolejność.

Odp. Wykres latex przesuwamy wzdłuż osi latex o latex a następnie wzdłuż osi latex o latex i otrzymujemy wykres funkcji latex
Wykres latex przesuwamy wzdłuż osi latex o latex iwzdłuż osi latex o latex do położenia latex


show_commercials: 0


Do góry ∧

 

arkusze maturalne megamatma

Szkoła z MegaMatmą