MegaMatma: Rysowanie wykresów funkcji y=f(x+a), y=f(x)+a, znając wykres y=f(x).

Rysowanie wykresów funkcji y=f(x+a), y=f(x)+a, znając wykres y=f(x).

W wielu sytuacjach życiowych mamy do czynienia z funkcjami, np. w statystyce gdy podana jest tabela z danymi statystycznymi, to określa ona pewne przyporządkowanie, wg którego każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada element należący do drugiego zbioru.

Definicja

Funkcją $f$ odwzorowującą zbiór $X$ w zbiór $Y,$ nazywamy takie przyporządkowanie, według którego każdemu elementowi $x$ należącemu do zbioru $X$ odpowiada dokładnie jeden element $y$ należący do zbioru $Y.$

$x$ - argument funkcji $f$
$y$ lub $f(x)$ - wartość funkcji $f$
$X=D_f$ -dziedzina funkcji $f$
$Y$ - przeciwdziedzina funkcji $f$
$ZW_f$ -zbiór wartości funkcji $f$

Zapisujemy funkcje małymi literami $f,g,h,k$

$f:\ X\rightarrow Y$ - funkcja $f$ odwzorowujaca zbiór $X$ w zbiór $Y,\ ZW_f\subset Y$
$f:{{\ X\stackrel{na}{\rightarrow}}}Y$ - funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ na zbiór $Y,\ ZW_f=Y$
$y=f(x)$ - zapis funkcji używany przy wykresie

przykład
Dane jest odwzorowanie: każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowujemy jej kwadrat. Podaj dziedzinę i zbiór wartości oraz zapisz tę funkcję.

stop
Zauważ, że podane zdanie spełnia warunki definicji funkcji, gdyż dowolnej liczbie naturalnej odpowiada dokładnie jedna liczba, która jest jej kwadratem. Użyty został zapis słowny funkcji.

Rozwiązanie

$n$ - liczba naturalna, $n\in N_+$
$n^2$ - wartość funkcji dla argumentu $n,\ n^2\in N_+$

Zapisujemy funkcję $f$ w postaci wzoru

$f(n)=n^2$

Jest to ciąg liczbowy, który zapisujemy również $a_n=n^2.$

Dziedzina

$D_f=N_+$

Przeciwdziedzina

$Y=N_+$

Zbiór wartości

$DW_f=\left\{1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \dots ,\ 10000,\ \dots \right\}=\{y:y=n^2\ i\ n\in N_{+\ }\}\$

Często funkcję zapisujemy w postaci $y=f(x),$ co praktycznie oznacza zbiór wszystkich uporządkowanych par $(x,y),$ gdzie $y$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x.$

Zbiór takich par tworzy w układzie współrzędnych wykres funkcji $f.$

stop
Zauważ, że w podanym przykładzie wykres będzie nieskończonym zbiorem punktów zaznaczonych w prostokątnym układzie współrzędnych leżących na paraboli $y=x^2$ w prawej półpłaszczyżnie o współrzędnych