MegaMatma: Funkcja wykładnicza. Wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw.

Funkcja wykładnicza. Wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw.

1) Wykres funkcji wykładniczej

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem

$f\left(x\right)=a^x \ dla \ a>0$ .

Liczbę $a$ nazywamy podstawą funkcji wykładniczej.

Jeśli $a=1$ , to funkcja wykładnicza jest funkcją liniową $f\left(x\right)=1$ i jej wykresem jest prosta pozioma $y=1$ .

Jeśli $a\in \left(0;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$ , to wykresem funkcji wykładniczej jest tzw. krzywa wykładnicza.

przykład

W jednym układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji

$f\left(x\right)={\left(1,2\right)}^x, \ g\left(x\right)={\left(2,1\right)}^x \ i \ h\left(x\right)=3^x.$

Budujemy częściową tabelę zmienności funkcji

$x$	-2	-1	0	1	2
$y={\left(1,2\right)}^x$	$\frac{25}{36}\approx 0,7$	$\frac{5}{6}\approx 0,8$	$1$	$1,2$	$1,44\approx 1,4$
$y={\left(2,1\right)}^x$	$\frac{100}{441}\approx 0,2$	$\frac{10}{21}\approx 0,5$	$1$	$2,1$	$4,41\approx 4,4$
$y=3^x$	$\frac{1}{9}\approx 0,1$	$\frac{1}{3}\approx 0,3$	$1$	$3$	$9$

stop
- Jeśli $a>1,$ to funkcje wykładnicze są rosnące.

- Im większa jest wartość podstawy $a,$ tym bliżej osi $x$ jest położony jej wykres dla argumentów ujemnych i tym bliżej osi $y$ dla dodatnich.

- Wykresy wszystkich funkcji przechodzą przez punkt $(0;1).$

- Wykresy wszystkich funkcji leżą powyżej osi $x$ i zbliżają się do niej ze strony lewej.

Oś $x$ jest jednostronną asymptotą poziomą wykresów tych funkcji.

przykład
W jednym układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji

$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{1,2}\right)}^x, \ \ g\left(x\right)={\left(<br /> \frac{1}{2,1}\right)}^x \ \ i \ \ h\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x.$

Zauważmy, że $\frac{1}{a}=a^{-1}$

${\left(\frac{1}{a}\right)}^x={\left(a^{-1}\right)}^x$

${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$

Wykresy funkcji $y=f\left(x\right) \ \ i \ \ y=f\left(-x\right)$ są symetryczne względem osi $y.$

Stąd wykresy funkcji $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{a}\right)}^x\ i \ f\left(x\right)=a^x,\ \ a>1,$ są symetryczne względem osi $y.$

Wykorzystując tę własność oraz wykresy z Przykładu 1. otrzymujemy:

poleć znajomemu drukuj

Funkcja wykładnicza. Wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw.

Podobne tematy: