Jak uzasadniać w oparciu o definicję czy własności zbiorów, ich otwartość czy np. spójność, dowiecie się z odpowiedzi do przykładów.
Radzę wynotować sobie te własności.

A. Zbiory otwarte


Definicja
Otoczeniem punktu w przestrzeni , czyli na prostej, jest każdy przedział otwarty o środku w punkcie czyli

Wyjaśnij, które podzbiory są otwarte na prostej

a)

b)

c)

d)

Rozwiązania.

a)

Zbiór jest zbiorem otwartym, gdyż dla każdego jego punktu spełniony jest warunek: istnieje dla niego otoczenie (czyli przedział otwarty o środku w tym punkcie) zawarte w zbiorze



b)

Zbiór jest iloczynem zbiorów otwartych, a więc jest zbiorem otwartym.

c)

Zbiór jest zbiorem pustym, a więc jest zbiorem otwartym.

d)

Zbiór jest sumą przedziału otwartego i domkniętego, więc nie jest zbiorem otwartym.


Definicja

W przestrzeni czyli na płaszczyźnie, otoczeniem punktu jest dowolne koło otwarte o środku w tym punkcie,

czyli

Które z podanych zbiorów są otwarte w przestrzeni

a)

b)

c)

d)

e) gdzie



Rozwiązania.

a) Zbiór nie jest zbiorem otwartym, gdyż dla żadnego z punktów brzegu należących do prostej nie istnieje otoczenie zawarte w tym zbiorze.

b) Zbiór jako zbiór pusty jest zbiorem otwartym.

c) Zbiór jest zbiorem otwartym, gdyż jest sumą zbiorów otwartych.

d) Zbiór nie jest zbiorem otwartym, gdyż jego brzeg jest zawarty w tym zbiorze.

e) Iloczyn kartezjański Zbiór ten jest zbiorem otwartym, gdyż każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym. Brzeg zbioru nie jest zawarty w zbiorze.