MegaMatma: Logarytmy. Logarytm iloczynu, ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (R). Zamiana podstaw logarytmów.

Logarytmy. Logarytm iloczynu, ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (R). Zamiana podstaw logarytmów.

rozszerzony

W zapisie potęgi $a^c=b$ występują trzy litery, z których każdą możemy potraktować jako niewiadomą i jej poszukiwać znając dwie pozostałe .

Zadajemy sobie pytania:

1. Jaka jest podstawa $a$ , którą podnosimy do potęgi $5$ i otrzymujemy $1\ ?$

2. Jaka jest liczba $b$ , jeśli podstawę $7$ podnosimy do potęgi $(-1)\ ?$

3. Jaki jest wykładnik potęgi, do którego trzeba podnieść podstawę $3,$ aby otrzymać wynik $27\ ?$

W każdym przypadku łatwo można podać odpowiedź, nie będąc pewnym czy jest dokładnie jedna.

W pyt.1. pytaniu $a^5=1$ i odpowiedzią jest $a=1.$

W pyt.2. pytaniu $7^{-1}=b$ i odpowiedzią jest $b=\frac{1}{7}.$

W pyt.3. pytaniu $3^c=27$ i odpowiedzią jest $c=3.$

W ostatnim pytaniu obliczenie wykładnika potęgi, gdy nie potrafimy zgadnąć, polega na zapisie odpowiedzi przy pomocy logarytmów.

Pojęcie logarytmu

Logarytmem przy podstawie $a,\ a>0\ i\ a\ \ne 1,$ z liczby logarytmowanej $b,\ b>0,\$

nazywamy wykładnik $c$ potęgi, do której należy podnieść podstawę $a$ , aby otrzymać liczbę $b.$

Stosujemy zapis $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {log}_ab=c$

stop
Z podanej definicji wynika: ${log}_ab=c\ \Leftrightarrow \ a^c=b$

gdzie: $a$ - podstawa jest dodatnia i różna od $1;$
$b$ - liczba logarytmowana dodatnia;
$c$ - wykładnik potęgi jest dowolną liczbą rzeczywistą.

przykład
Zapisz przy użyciu logarytmu następujące równości:

$3^c=27;\ \ \ 1^9=t;\ \ \ {120}^0=1;\ \ \ a^3=-8$

Rozwiązanie

$3^c=27\Leftrightarrow {log}_327=c$

$1^9=t$ - zapis przy użyciu logarytmu nie istnieje, gdyż podstawa potęgi jest $1$

${120}^0=1\Leftrightarrow {log}_{120}1=0$

$a^3=-8$ - zapis przy użyciu logarytmu nie istnieje,

gdyż liczba logarytmowana musi być dodatnia, a w przykładzie jest $(-8).$

stop
Zapamiętaj, że podstawa logarytmu nie może być równa $1$ , ale logarytm liczby $1$ istnieje i jest równy $0.$

przykład
Oblicz:

a) $\ {log}_{\frac{1}{7}}49\ \$ b) $\ {log}_28\ \$ c) $\ {log}_82\ \$ d) $\ {log}_{10}10000\ \$ e) $\ {log}_525\sqrt{5}$

Rozwiązanie

a) $\ {log}_{\frac{1}{7}}49=-2,\$ gdyż ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}=49$

b) $\ {log}_28=3,\$ gdyż $2^3=8$

c) $\ {log}_82=\frac{1}{3},\$ gdyż $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$

d) $\ {log}_{10}10000=4,\$ gdyż ${10}^4=10000\$

e) $\ {log}_525\sqrt{5}=\frac{5}{2},\$ gdyż $5^{\frac{5}{2}}=\sqrt{5^5}=\sqrt{5^4\cdot 5}=5^2<br /> \sqrt{5}=25\sqrt{5}\ \$

Odp. a) $\ 49; \ \$ b) $\ 8; \ \ \$ c) $\ 2;\ \ \$ d) $\ 10000;\ \ \$ e) $\ 25\sqrt{5}$

przykład
Uzasadnij równości zachodzące dla $a>0\ i\ a\ne 1$ oraz $k\in R :$

${log}_aa=1; \ \ {log}_aa^k=k;\ \ {log}_a\frac{1}{a}=-1;\ \ {log}_{a^k}a=\frac{1}{k};\ \ {log}_a1=0$

Rozwiązanie

Korzystając z określenia logarytmu otrzymujemy

${log}_aa=1\Leftrightarrow a^1=a \ \ \ \ \ {log}_aa^k=k\Leftrightarrow a^k=a^k$

${log}_a\frac{1}{a}=-1\Leftrightarrow a^{-1}=\frac{1}{a} \ \ \ \ \ {log}_{a^k}a=<br /> \frac{1}{k}\Leftrightarrow {(a^k)}^{\frac{1}{k}}=a\Leftrightarrow a^{k\cdot \frac{1}{k}}=a\ \ \ \ \ {log}_a1=0\Leftrightarrow a^0=1$

Odp. Podane wzory są prawdziwe.