MegaMatma: Ciąg geometryczny, wzór na n-ty wyraz ciągu i na sumę n początkowych wyrazów.

Ciąg geometryczny, wzór na n-ty wyraz ciągu i na sumę n początkowych wyrazów.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego.

Ciąg liczbowy $\left(a_n\right)$ nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, powstaje poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę $q,$ tzn.

$a_{n+1}=a_n\cdot q,$ dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n.$

Liczbę $q$ nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Ciąg geometryczny musi się składać z co najmniej trzech wyrazów.

(R) Mając daną wartość wyrazu pierwszego $a_1=c,$ otrzymujemy wzór

wzór

$\begin{cases}<br /> a_1=c \\<br /> a_{n+1}=a_n\cdot q\ \ \ \ dla\ \ n\in N_+ \end{cases}$

który jest wzorem rekurencyjnym ciągu geometrycznego, ponieważ pozwala obliczyć kolejny wyraz ciągu za pomocą wyrazu poprzedzającego go.

Łatwo z niego otrzymać wzór ogólny ciągu, czyli wzór na $n-ty$ wyraz

Policzmy kolejno:

$a_2=a_1\cdot q,$

$a_3=a_2\cdot q=\left(a_1\cdot q\right)\cdot q=a_1\cdot q^2,$

$a_4=a_3\cdot q=\left(a_1\cdot q^2\right)\cdot q=a_1\cdot q^3,$ itd.

Otrzymujemy następującą postać wzoru na $n-ty$ wyraz

wzór

$a_n=a_1\cdot q^{n-1},\ \ n\in N_+$

Aby wyznaczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego wystarczy znać jego pierwszy wyraz i iloraz.

przykład

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ jest równy $a_1=4,1$ zaś iloraz $q=-2.$ Znaleźć wzór ogólny tego ciągu i na jego podstawie obliczyć $a_6 \ i \ a_{11}.$

• Wzór ogólny

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \ n\in N_+$

$a_n=4,1\cdot ({-2)}^{n-1}, \ n\in N_+$

• Obliczenie $a_6$

$a_6=4,1\cdot {\left(-2\right)}^5$

$a_6=4,1\cdot \left(-32\right)$

$a_6=-131,2$

• Obliczenie $a_{11}$

$a_{11}=4,1\cdot {\left(-2\right)}^{10}$

$a_{11}=4,1\cdot 1024$

$a_{11}=4198,4$

stop

Jeśli $a_1>0 \ i \ q<0,$ to wyrazy o numerach parzystych są dodatnie, a wyrazy o numerach nieparzystych są ujemne.

Wzór ogólny pozwala obliczyć wyraz $a_n$ za pomocą $a_1 \ i \ q.$

Można z niego otrzymać wzór pozwalający obliczyć $a_n$ za pomocą ilorazu $q$ i dowolnego wyrazu o numerze mniejszym od $n.$

Jeśli $k<n\ i\ q\ne 0,\$ to

$a_k=a_1\cdot q^{k-1} \Rightarrow a_1=\frac{a_k}{q^{k-1}}$

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$a_n=\frac{a_k}{q^{k-1}}\cdot q^{n-1}$

$a_n=a_k\cdot q^{\left(n-1\right)-\left(k-1\right)}$

Ostatecznie $a_n=a_k\cdot q^{n-k}, n\in N_{+\ \ \ }, k<n$

poleć znajomemu drukuj

Ciąg geometryczny, wzór na n-ty wyraz ciągu i na sumę n początkowych wyrazów.

Podobne tematy: